Ley de los cotangentes

En la geometría del triángulo , la ley de la cotangente es una relación entre las longitudes de $un$ , $b$ y $c$ de los lados de un triángulo y la cotangente de sus ángulos mitades $α / 2$ , $β / 2$ y $γ / 2$ :

{\ displaystyle {\ frac {\ cot ({\ tfrac {\ alpha} {2}})} {pa}} = {\ frac {\ cot ({\ tfrac {\ beta} {2}})} {pb }} = {\ frac {\ cot ({\ tfrac {\ gamma} {2}})} {pc}} = {\ frac {1} {r}},}

donde $p = a + b + c / 2$ denota el medio perímetro y $r$ el radio del círculo inscrito .

Demostración

Corta el triángulo (ver Fig.2) en seis triángulos rectángulos , simétricos de dos en dos con respecto a las bisectrices y los lados $( AM , r , x )$ , $( BM , r , y )$ y $( CM , r , z )$ , con $x + y = c$ , $y + z = a$ y $z + x = b$ . Entonces, $2 x + a = 2 x + y + z = b + c$ entonces $x = b + c - a / 2 = p -$ por lo tanto $cot ( α / 2) = X / r = p - a / r$ Entonces $cuna ( α / 2) / p - a$ = $1 / r$ . Igualmente, $cuna ( β / 2) / p - b$ = $1 / r$ y $cuna ( γ / 2) / p - c$ = $1 / r$ .

Corolario

De la ley de las cotangentes deducimos una expresión para el radio $r$ del círculo inscrito, en función de las longitudes de los lados (y su media suma $p$ ):

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {(pa) (pb) (pc)} {p}}}.}

De hecho, la suma de los ángulos $α / 2$ , $β / 2$ y $γ / 2$ Es igual a $π / 2$ por lo tanto su cotangente es cero, es decir (según la fórmula de adición de las cotangentes ) que el producto y la suma de las cotangentes de estos tres ángulos son iguales, por lo tanto

{\ Displaystyle (pa) (pb) (pc) = r ^ {3} \ cot ({\ tfrac {\ alpha} {2}}) \ cot ({\ tfrac {\ beta} {2}}) \ cot ({\ tfrac {\ gamma} {2}}) = r ^ {3} \ left [\ cot ({\ tfrac {\ alpha} {2}}) + \ cot ({\ tfrac {\ beta} {2 }}) + \ cot ({\ tfrac {\ gamma} {2}}) \ right] = r ^ {2} \ left [(pa) + (pb) + (pc) \ right] = r ^ {2 } pag,}

de ahí la expresión anunciada.

Dado que (ver Fig. 2) el área del triángulo es $S = rp$ , esta expresión de $r es$ equivalente a la fórmula de Heron :

{\ Displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}.}

Ver también