Lema de Scheffé

El lema de Scheffe es un criterio de convergencia en derecho relativo a las consecuencias de las variables aleatorias con densidad .

Declaración y demostración

Lema de Scheffé (este es un caso particular del lema de Scheffé, que no necesariamente obliga a les y to be densities) ${\ Displaystyle (f_ {n}) \}$ $f \$ - Sea una secuencia de densidades de probabilidad definidas en el mismo conjunto $E$ y con respecto a la misma medida $μ$ en el espacio medible . Suponga que $μ$ converge , casi en todas partes, a una densidad de probabilidad y que la secuencia de medias de las funciones converge a la media de la función . Entonces ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ geq 0} \}$ ${\ Displaystyle (E, {\ mathcal {E}}) \}$ ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ geq 0} \}$ ${\ Displaystyle f. \}$ ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ geq 0} \}$ $f \$

${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n} \}$ converge en $L$ $1$ $f \$
si las variables aleatorias $X n$ y $X$ tienen densidades respectivas y entonces $X$ $n$ converge en ley hacia $X$ ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n} \}$ ${\ Displaystyle f, \}$

Demostración

Se tiene

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int \ left (f-f_ {n} \ right) _ {+} d \ mu \ + \ \ int \ left (f-f_ {n} \ right) _ {- } d \ mu & = \ Verde f-f_ {n} \ Verde _ {1} \\\ int \ left (f-f_ {n} \ right) _ {+} d \ mu \ - \ \ int \ left (f-f_ {n} \ right) _ {-} d \ mu & = \ int \ left (f-f_ {n} \ right) d \ mu \\ & = 1-1 = 0 \ end {alineado} }}

Pero

{\ Displaystyle 0 \ leq \ left (f-f_ {n} \ right) _ {+} \ leq f.}

Ahora es integrable y, por hipótesis, converge a 0 $μ$ -pp, lo que permite concluir, utilizando el teorema de convergencia dominado , que ${\ Displaystyle f \}$ ${\ Displaystyle \ left (f-f_ {n} \ right) _ {+} \}$

{\ Displaystyle \ lim _ {n} \ int \ left (f-f_ {n} \ right) _ {+} d \ mu \ = \ \ lim _ {n} \ int \ left (f-f_ {n} \ right) _ {-} d \ mu \ = \ 0.}

En consecuencia,

{\ Displaystyle \ lim _ {n} \ Verde f-f_ {n} \ Verde _ {1} \ = \ 0.}

Además, tenga en cuenta que para $φ$ continuo acotado en $E$ tenemos

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left | \ mathbb {E} [\ varphi (X_ {n})] - \ mathbb {E} [\ varphi (X)] \ right | & = \ left | \ int _ {E} \ varphi f_ {n} d \ mu - \ int _ {E} \ varphi fd \ mu \ right | \\ & \ leq \ Vert \ varphi \ Vert _ {\ infty} \ Vert f_ {n} -f \ Green _ {1}. \ end {alineado}}}

Como resultado

{\ Displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {E} [\ varphi (X_ {n})] = \ \ mathbb {E} [\ varphi (X)],}

que caracteriza la convergencia en la distribución de $X n$ a $X$ .

Observaciones.

Sorprendentemente, cuando las funciones son positivas y tienen la misma integral, uno se libera de los supuestos habituales de aumento uniforme del error que aparece en el teorema de convergencia dominado .
En general, aplicamos el lema de Scheffé en el caso donde y donde la medida $μ$ es la medida de Lebesgue : las variables aleatorias que aparecen en el lema son entonces variables de "densidad" . ${\ Displaystyle \ E = \ mathbb {R} ^ {d} \}$
Otro marco de aplicación del lema de Scheffé se refiere a las densidades con respecto a la medida de recuento $μ$ on : las variables aleatorias que aparecen en el lema son entonces variables "discretas" y la densidad de $X$ $n$ se define, pues por ${\ Displaystyle E = \ mathbb {Z} ^ {d} \}$ ${\ Displaystyle f_ {n} \}$ ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {Z} ^ {d}, \}$

{\ Displaystyle f_ {n} (k) \ = \ \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right).}

En este contexto, se sigue del lema de Scheffé que

X n

converge en la ley a

X

si (y solo si):

{\ Displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {Z} ^ {d}, \ qquad \ lim _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right) \ = \ \ mathbb {P } \ left (X = k \ right).}

Bajo los supuestos del lema de Scheffé, se obtiene de hecho una convergencia más fuerte que la convergencia de derecho:

{\ Displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {E}}, \ quad \ left | \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (X \ en A \ derecha) \ derecha | \ \ leq \ \ Vert f_ {n} -f \ Vert _ {1}.}

Por lo tanto, la convergencia de las probabilidades es uniforme en Sin embargo, la convergencia en la ley, por lo general, no está necesariamente acompañada por una convergencia simple (ni, a fortiori, por una convergencia uniforme) en : por ejemplo, si

Y

es gaussiano estándar , entonces

{\ Displaystyle {\ mathcal {E}}. \}

{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} \}

{\ Displaystyle X_ {n} = Y / n, \ quad A = \ {0 \}, \}

{\ Displaystyle \ lim _ {n} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} \ in A \ right) = 0 \ neq 1 = \ mathbb {P} \ left (0 \ in A \ right),}

mientras que, por todo ello,

X n

converge en derecho hacia 0.

Ejemplos de

Convergencia de la ley de Student con la ley normal

Un ejemplo de aplicación es la convergencia del Estudiante de la ley hacia la ley normal . Para k ≥ 1, la ley de Student con k grados de libertad tiene la densidad

{\ Displaystyle f_ {k} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {k \ pi}}} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {k + 1} {2}} \ right )} {\ Gamma \ left ({\ frac {k} {2}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {t ^ {2}} {k}} \ derecha) ^ {\ frac {k + 1} {2}}}},}

donde $Γ$ denota la función Gamma de Euler . Tenemos clásicamente, para todo ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R},}$

{\ Displaystyle \ lim _ {k} \ left (1 + {\ frac {t} {k}} \ right) ^ {k} = \ mathrm {e} ^ {t},}

y entonces

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {k} {\ frac {1} {\ left (1 + {\ tfrac {t ^ {2}} {k}} \ right) ^ {\ tfrac {k +1} {2}}}} & = \ lim _ {k} {\ frac {1} {\ left (1 + {\ tfrac {t ^ {2}} {k}} \ right) ^ {\ tfrac {k} {2}}}} \ times \ lim _ {k} \ left (1 + {\ tfrac {t ^ {2}} {k}} \ right) ^ {- {\ tfrac {1} {2 }}} \\ & = \ left (\ lim _ {k} \ left (1 + {\ tfrac {t ^ {2}} {k}} \ right) ^ {k} \ right) ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} = \ mathrm {e} ^ {- t ^ {2} / 2}. \ end {alineado}}}

También tenemos

{\ Displaystyle \ lim _ {t \ uparrow + \ infty} {\ frac {\ Gamma (t + \ alpha)} {\ Gamma (t) t ^ {\ alpha}}} = 1,}

por lo tanto, estableciendo $t = k / 2$

{\ Displaystyle \ lim _ {k} {\ frac {1} {\ sqrt {k \ pi}}} \ {\ frac {\ Gamma ({\ frac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ frac {k} {2}})}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ \ lim _ {t \ uparrow + \ infty} {\ frac {\ Gamma ( t + {\ frac {1} {2}})} {\ Gamma (t) {\ sqrt {t}}}} \ = \ {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}.}

Entonces

{\ Displaystyle \ lim _ {k} f_ {k} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ e ^ {- t ^ {2} / 2}.}

CQFD

Convergencia de la distribución binomial a la distribución de Poisson

Para $n \geq 1$ y $0 \leq p n \leq 1$ , la distribución binomial de los parámetros $n$ y $p n$ tiene densidad, con respecto a la medida de conteo en la función $($ $f$ $n$ $)$ definida en por ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}, \}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \}$

{\ Displaystyle f_ {n} (k) \ = \ {n \ elige k} p_ {n} ^ {k} (1-p_ {n}) ^ {nk} \ 1_ {0 \ leq k \ leq n} .}

La secuencia $( f n )$ simplemente converge a la función $f$ definida por:

{\ Displaystyle f (k) \ = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \ 1_ {k \ geq 0},}

desde que

{\ Displaystyle \ lim _ {n} n \, p_ {n} \ = \ \ lambda, \ quad \ \ lambda> 0.}

Así, como consecuencia del lema de Scheffé, tan pronto como , la ley binomial de los parámetros $n$ y $p$ $n$ converge a la ley de Poisson del parámetro $λ$ . ${\ Displaystyle \ lim _ {n} n \, p_ {n} \ = \ \ lambda> 0, \}$

Variante discreta

Bajo ciertas condiciones, podemos adaptar el lema de Scheffé para probar la convergencia de leyes discretas hacia leyes de densidad. Para un vector incluyen el vector de coordenadas , . Entonces ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor x_ {i} \ right \ rfloor \}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq d}$

Lema de Scheffé discreto : nos damos una secuencia de rv con valores en , una secuencia , con tendencia a , de reales estrictamente positivos y una densidad de probabilidad en . Si pp en $x$ tenemos ${\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n} \}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle a_ {n}}$ ${\ Displaystyle + \ infty}$ $F$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} ^ {d} \ \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = \ left \ lfloor a_ {n} x \ right \ rfloor \ right) = f ( X),}

$X n / a n$ converge débilmente a. ${\ Displaystyle f (x) dx}$

Demostración

Considere la función

{\ Displaystyle f_ {n} (x) = a_ {n} ^ {d} \ \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = \ left \ lfloor a_ {n} x \ right \ rfloor \ right). }

Es una densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue (indicada $μ$ ) en . Por ejemplo, si $U$ es una variable aleatoria con distribución uniforme sobre $[0,1]$ $d$ , independiente de $X$ $n$ , entonces es la densidad de ${\ mathbb {R}} ^ {d}$ ${\ Displaystyle f_ {n}}$

{\ Displaystyle Y_ {n} = {\ frac {X_ {n} + U} {a_ {n}}}.}

El lema ordinario de Scheffé muestra que $Y n$ converge de derecho a . Pero, para cualquier estándar , $F$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$

{\ Displaystyle \ left \ Vert Y_ {n} - {\ frac {X_ {n}} {a_ {n}}} \ right \ Vert \ = \ {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {1 } {a_ {n}}} \ right),}

por lo tanto, en virtud del teorema de Slutsky , también converge débilmente a . ${\ Displaystyle X_ {n} / a_ {n}}$ ${\ Displaystyle f (x) dx}$

Una vez realizada esta última prueba, el lema discreto de Scheffé prescinde de encontrar un límite para el término de error

{\ Displaystyle \ left | a_ {n} ^ {d} \ \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = \ left \ lfloor a_ {n} x \ right \ rfloor \ right) -f (x) \ derecha |,}

uniforme por lo que sería una forma más pesada de mostrar que ${\ Displaystyle x \ in A,}$

{\ Displaystyle \ lim _ {n} \ \ mathbb {P} \ left (X_ {n} / a_ {n} \ in A \ right) \ = \ \ lim _ {n} \ \ sum _ {k \ in (a_ {n} \, A) \ cap \ mathbb {Z} ^ {d}} \ \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right) \ = \ \ int _ {A} \ f (x) dx.}

Por lo general, es necesario un control uniforme de la velocidad de convergencia de los términos de la suma para asegurar la convergencia del término de igualdad de la izquierda (el término de la izquierda es una suma finita cuyo número de términos tiende a infinito) hacia la integral límite. En este caso preciso, gracias al lema de Scheffé, la convergencia de los términos de la suma, renormalizados, basta para asegurar la convergencia del término izquierdo de la igualdad.

Distancia entre dos puntos aleatorios de un árbol Cayley aleatorio

La ley de la distancia $D n$ entre dos puntos aleatorios de un árbol de Cayley aleatorio viene dada por ${\ Displaystyle 0 \ \ leq \ k \ \ leq \ n-1, \}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (D_ {n} = k \ right) \ = \ {\ frac {(k + 1) \ times (n) _ {\ downarrow k + 1}} {n ^ { k + 2}}}.}

En virtud de biyección de Joyal , también es la ley del número de puntos cíclicos de una aplicación de en Esta ley discreta también aparece en problemas de asignación (bolas y urnas), incluyendo el famoso problema de cumpleaños . Cuando se asignan bolas de forma secuencial en un conjunto de n urnas, con equiprobabilidad, lo que equivale a considerar un universo probabilístico, el rango de la primera bola a distribuir en una urna no vacía sigue la misma ley que $2 +$ $D$ $n$ : para ${\ Displaystyle [\! [1, n] \!]}$ ${\ Displaystyle [\! [1, n] \!]. \}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ = \ [\! [1, n] \!] ^ {\ mathbb {N}}, \}$ ${\ Displaystyle T_ {n} (\ omega) \}$ ${\ Displaystyle 2 \ \ leq \ k \ \ leq \ n + 1, \}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (T_ {n} = k \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (D_ {n} = k-2 \ right).}

Podemos mostrar, usando el lema de Scheffé, que

Proposición : converge en la ley a la ley de Rayleigh . ${\ Displaystyle D_ {n} / {\ sqrt {n}}}$

Demostración

De hecho, para un número real x estrictamente positivo,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbb {P} \ left (D_ {n} = \ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor \ right) & = \ {\ frac {(\ izquierda \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor +1) \ times (n) _ {\ downarrow \ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor +1}} {n ^ {\ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor +2}}} \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ \ {\ frac {\ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor +1} {\ sqrt {n}}} \ \ prod _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor } \, \ left (1 - {\ frac {k} {n}} \ right) \\ & \ simeq {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ \ x \ \ prod _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor} \, \ left (1 - {\ frac {k} {n}} \ right) \\ & \ simeq {\ frac { 1} {\ sqrt {n}}} \ \ x \ \ exp \ left (- {\ mathcal {H}} _ {n, \ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor} \ right ), \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {n, \ ell} = - \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} \ ln \ left (1 - {\ frac {k} {n}} \ derecho),}

y por lo suficientemente pequeño, ${\ Displaystyle \ ell \}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {n, \ ell} \ simeq \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} \ {\ frac {k} {n}} \ simeq \ {\ frac {\ ell ^ {2}} {2n}}.}

Más precisamente, para ${\ Displaystyle 0 \, \ leq \, \ ell \, \ leq \, n / 2, \}$

{\ Displaystyle \ left | {\ mathcal {H}} _ {n, \ ell} \ - \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} \ {\ frac {k} {n}} \ right | \ \ leq \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} \ {\ frac {k ^ {2}} {n ^ {2}}} \ = \ {\ frac {\ ell (\ ell +1 ) (2 \ ell +1)} {6 \, n ^ {2}}},}

y por tan pronto como ${\ Displaystyle \ ell = \ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor, \}$ ${\ Displaystyle n \, \ geq \, 4x ^ {2}, \}$

{\ Displaystyle \ left | {\ mathcal {H}} _ {n, \ ell} \ - \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} \ {\ frac {k} {n}} \ right | \ \ simeq \ {\ frac {x ^ {3}} {3 \, {\ sqrt {n}}}}, \ quad {\ text {y}} \ quad \ sum _ {k = 0} ^ {\ ell} \ {\ frac {k} {n}} \ \ simeq \ {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}

Por tanto, para cualquier número real x estrictamente positivo,

{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (D_ {n} = \ left \ lfloor x {\ sqrt {n}} \ right \ rfloor \ right) \ simeq {\ frac {1} {\ sqrt {n}} } \ \ x \ \ exp \ left (-x ^ {2} / 2 \ right).}

CQFD

En consecuencia :

la distancia “típica” entre dos puntos de un árbol de tamaño n es del orden de ; ${\ Displaystyle {\ sqrt {n}} \}$
${\ Displaystyle T_ {n} / {\ sqrt {n}}}$ converge en la ley a la ley de Rayleigh . En el contexto del problema de los cumpleaños, donde elegimos n = 365 , se interpreta como el tamaño del grupo para el cual es probable que al menos dos miembros del grupo tengan el mismo cumpleaños (debemos imaginar un grupo cuyos números sean gradualmente creciente): la probabilidad de que en un grupo de personas, todos los cumpleaños sean diferentes, se puede estimar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle T_ {n} (\ omega) \}$ ${\ Displaystyle \ alpha {\ sqrt {n}} \}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (T_ {n}> \ alpha {\ sqrt {n}} \ right) = \ mathbb {P} \ left (T_ {n} / {\ sqrt {n}} \ > \ alpha \ right) \ simeq \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} x \ \ exp \ left (-x ^ {2} / 2 \ right) dx \ = \ e ^ {- \ alpha ^ {2} / 2},}

y por lo tanto vale la mitad para un grupo de aproximadamente (o 22,5) personas, o bien 1/10 para un grupo de aproximadamente (o 41) personas. El cálculo exacto del primer número entero tal que esta probabilidad sea menor que 1/2 (respectivamente 1/10) da los mismos resultados: 23 (respectivamente 41).

{\ Displaystyle {\ sqrt {365 \ times 2 \ ln (2)}} \}

{\ Displaystyle {\ sqrt {365 \ times 2 \ ln (10)}} \}

Un contraejemplo: la caminata aleatoria simple simétrica

Sea $S n$ la posición del paseo aleatorio simple simétrico en el tiempo $n$ . Abraham De Moivre ha demostrado que converge en la ley hacia Al hacerlo, Abraham De Moivre ha establecido 3 “primeros”: ${\ Displaystyle S_ {n} / {\ sqrt {n}}}$ ${\ Displaystyle e ^ {- x ^ {2} / 2} / {\ sqrt {2 \ pi}} \ dx. \}$

primera aparición de la ley normal ,
primera versión del teorema del límite central ,
descubrimiento y primer uso de la fórmula de Stirling .

Desafortunadamente, no podemos aplicar directamente el lema discreto de Scheffé para probar el resultado de De Moivre. En efecto :

{\ Displaystyle \ limsup _ {n} {\ sqrt {n}} \ \ mathbb {P} \ left (S_ {n} = \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} \ x \ right \ rfloor \ right) = 2e ^ {- x ^ {2} / 2} / {\ sqrt {2 \ pi}},}

{\ Displaystyle \ liminf _ {n} {\ sqrt {n}} \ \ mathbb {P} \ left (S_ {n} = \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} \ x \ right \ rfloor \ right) = 0.}

Desde $S n$ tiene la misma paridad que $n$ la secuencia toma el valor cero para una infinidad de índices, aquellos para los que e $n$ no tienen la misma paridad: tan pronto como podemos comprobar a mano que es extraño para una infinidad de d ' índices (e incluso para una infinidad de índices así), una observación similar se pueden hacer para por otro lado, cuando y $n$ tienen la misma paridad, tenemos: ${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (S_ {n} = \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} x \ right \ rfloor \ right) \}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} \ x \ right \ rfloor}$ ${\ Displaystyle x \ neq 0,}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ sqrt {2n}} \ x \ right \ rfloor}$ ${\ Displaystyle \ \ left \ lfloor {\ sqrt {2n + 1}} \ x \ right \ rfloor.}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} \ x \ right \ rfloor}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (S_ {n} = \ left \ lfloor {\ sqrt {n}} x \ right \ rfloor \ right) \ = \ {n \ elige \ left (n + \ left \ lpiso {\ sqrt {n}} x \ right \ rfloor \ right) / 2} \ 2 ^ {- n}.}

La fórmula de Stirling conduce luego al límite anunciado, sin embargo, puede adaptar la prueba de Lemma Scheffe discretamente en este caso: solo pregunte ${\ Displaystyle 2 \, e ^ {- x ^ {2} / 2} / {\ sqrt {2 \ pi}}. \}$

{\ Displaystyle Y_ {n} = {\ frac {S_ {n} -1_ {n {\ text {impar}}} + 2U} {\ sqrt {n}}}.}

Entonces $Y n$ tiene por densidad

{\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {n}} {2}} \ \ mathbb {P} \ left (S_ {n} = 1_ {n {\ text {impar}}} + 2 \ left \ lfloor {\ frac {{\ sqrt {n}} x} {2}} \ right \ rfloor \ right) \ \ simeq \ \, e ^ {- x ^ {2} / 2} / {\ sqrt {2 \ pi}} ,}

siempre a través de la fórmula de Stirling . Así $Y n$ converge en derecho hacia el derecho normal , en virtud del lema de Scheffé . Pero, como arriba,

{\ Displaystyle \ left \ Vert Y_ {n} - {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ right \ Vert \ = \ {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac { 1} {\ sqrt {n}}} \ derecha).}

El teorema de De Moivre resulta entonces de la convergencia en la ley de $Y n$ y del teorema de Slutsky .

Notas y referencias

fórmula atribuida a Euler, ver Función exponencial # Por una ecuación diferencial , y también Eli Maor , e: la historia de un número , p.156.
ver Función gamma # Fórmula de Stirling asintótica .

Haber

Bibliografía

(en) Rick Durrett , Probabilidad: teoría y ejemplos , Thomson Brooks / Cole (Belmont, CA), coll. "Serie avanzada de Duxbury",2005, 3 e ed. , 497 p. ( ISBN 0-534-42441-4 ), Sección II.2.a., página 81.

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