Inestabilidad de Rayleigh-Taylor

El Rayleigh-Taylor , llamado así por el físico británico Lord Rayleigh y GI Taylor , es una inestabilidad de la interfaz entre dos fluidos de densidades diferentes, resultante del empuje del fluido más pesado sobre el fluido más ligero (aceleración en el caso de un sistema dinámico o la gravedad para un sistema inicialmente estático se dirige hacia la fase de luz). Este fenómeno se produce, por ejemplo, por la onda de choque en el origen de las nubes interestelares . En este caso particular donde el choque está en el origen de la aceleración del sistema, se hablará de inestabilidad Richtmyer-Meshkov . Una situación similar ocurre cuando la gravedad afecta a dos fluidos de diferentes densidades (el fluido más denso que se encuentra sobre el fluido menos denso) como el aceite mineral en la superficie del agua.

Considere dos capas de fluidos inmiscibles superpuestos en dos planos paralelos, el más pesado sobresale por el más ligero y ambos sujetos a la gravedad terrestre. El equilibrio es inestable a la menor perturbación : cualquier perturbación amplificará y liberará energía potencial , el fluido más pesado ganando progresivamente la mitad inferior bajo el efecto del campo gravitacional, y el fluido ligero pasa hacia arriba. Es esta configuración la que estudió Lord Rayleigh. El importante descubrimiento de GI Taylor fue mostrar que esta situación es equivalente a la que ocurre cuando los fluidos (fuera de toda gravedad) se aceleran , el fluido ligero es propulsado dentro del fluido más pesado. Esto ocurre en particular cuando se tira un vaso al suelo con una aceleración mayor que la gravedad de la tierra g .

A medida que la inestabilidad desarrolla sus efectos, las irregularidades ("hoyuelos") se propagan hacia abajo en los pólipos Rayleigh-Taylor que eventualmente incluso se mezclan. Es por eso que la inestabilidad de Rayleigh-Taylor a veces se denomina inestabilidad de digitación . El líquido del encendedor se expande hacia arriba como un hongo nuclear .

Este fenómeno se observa en varias situaciones comunes, no solo en domos de sal o capas de inversión , sino también en astrofísica y electrocinética . Los pólipos de Rayleigh-Taylor son particularmente visibles en la Nebulosa del Cangrejo , donde el plerión generado por el pulsar del Cangrejo desborda las proyecciones de la explosión de la supernova hace 1.000 años.

La inestabilidad de Rayleigh-Taylor no debe confundirse con la inestabilidad de Plateau-Rayleigh (a veces denominada "inestabilidad de la manguera de jardín "): esta última, que se produce en chorros de líquido, se debe a la tensión superficial, que tiende a dispersar un chorro cilíndrico en una proyección de gotitas del mismo volumen pero de superficie menos específica.

Análisis de estabilidad lineal

La inestabilidad de Rayleigh-Taylor bidimensional no viscosa proporciona un excelente banco de pruebas para el estudio matemático de la estabilidad debido a la naturaleza extremadamente simple de la configuración inicial, descrita por un campo de velocidad promedio tal como donde el campo gravitacional es una interfaz entre los fluidos de densidades en la zona superior y en la zona inferior. Se muestra que en esta sección, cuando el fluido más pesado está arriba, la menor perturbación de la interfaz se amplifica exponencialmente , con la tasa ${\ Displaystyle U (x, z) = W (x, z) = 0, \,}$ ${\ Displaystyle {\ textbf {g}} = - g {\ hat {\ textbf {z}}}. \,}$ ${\ Displaystyle z = 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {G} \,}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {L} \,}$

{\ Displaystyle \ exp (\ gamma \, t) \ ;, \ qquad {\ text {con}} \ quad \ gamma = {\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {\ text {pesado}} - \ rho _ {\ text {ligero}}} {\ rho _ {\ text {pesado} } + \ rho _ {\ text {light}}}}, \,}

donde es la tasa de crecimiento, es el número de onda espacial y es el número de Atwood . $\ gamma \,$ $\ alpha \,$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

Análisis de estabilidad lineal

La perturbación traída al sistema se describe mediante un campo de velocidad de amplitud infinitamente pequeña.Como suponemos el fluido incompresible, este campo de velocidad es irrotacional y puede describirse mediante líneas de corriente . ${\ Displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}$

{\ Displaystyle {\ textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}) , \,}

donde los índices indican las derivaciones parciales . Además, en un fluido incompresible inicialmente en movimiento estacionario, no hay vórtice y el campo de velocidad del fluido permanece irrotacional , es decir . En términos de la línea actual, Entonces, como el sistema es invariante por cualquier traslación en la dirección x , podemos buscar una solución en la forma ${\ Displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$ ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$

{\ Displaystyle \ psi \ left (x, z, t \ right) = e ^ {i \ alpha \ left (x-ct \ right)} \ Psi \ left (z \ right), \,}

donde es el número de onda espacial. Entonces el problema se reduce a resolver la ecuación $\ alpha \,$

{\ Displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}

El campo en el que se resuelve el problema es el siguiente: el fluido indexado “L” está confinado a la región , mientras que el fluido indexado “G” está en el semiplano superior . Para la determinación de la solución completa, se deben establecer las condiciones de frontera e interfaz. Esto determina la celeridad c , que a su vez gobierna las propiedades de estabilidad del sistema. ${\ Displaystyle - \ infty <z \ leq 0 \,}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq z <\ infty \,}$

La primera de estas condiciones la proporcionan los datos de contorno. Las velocidades de perturbación deben satisfacer una condición de impermeabilidad (flujo cero), evitando que el fluido de expansión fuera del dominio de estudio. Por lo tanto, a lo largo , y para . En términos de simplificación , esto está escrito ${\ Displaystyle w '_ {i} \,}$ ${\ Displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$ ${\ Displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$ ${\ Displaystyle z = - \ infty \,}$ ${\ Displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$ ${\ Displaystyle z = \ infty \,}$

{\ Displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}

Las otras tres condiciones las proporciona el comportamiento de la interfaz . ${\ Displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

Continuidad del componente de velocidad vertical; en las componentes de velocidad verticales deben estar conectados en: . En términos de simplificación , esto está escrito ${\ Displaystyle z = \ eta}$ ${\ Displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$

{\ Displaystyle \ Psi _ {L} \ left (\ eta \ right) = \ Psi _ {G} \ left (\ eta \ right). \,}

Por un desarrollo limitado en uno se obtiene ${\ Displaystyle z = 0 \,}$

{\ Displaystyle \ Psi _ {L} \ left (0 \ right) = \ Psi _ {G} \ left (0 \ right) + {\ text {o (z)}}, \,}

Es la ecuación que expresa la condición de la interfaz.

Condición de superficie libre: A lo largo de la superficie libre , se aplica la siguiente condición cinemática: ${\ Displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial t}} + u '{\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial x}} = w' \ izquierda (\ eta \ derecha). \, }

Por linealización, simplemente obtenemos

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial t}} = w '\ left (0 \ right), \,}

donde la velocidad se linealiza en la superficie . Utilizando representaciones de modo normal y simplificaciones , esta condición es la segunda condición de interfaz. ${\ Displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$ ${\ Displaystyle z = 0 \,}$ ${\ Displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

Salto de presión en la interfaz: si se tiene en cuenta una tensión superficial , el salto de presión a través de la interfaz viene dado por la ecuación de Laplace : ${\ Displaystyle z = \ eta}$

{\ Displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,}

donde σ es la tensión superficial y κ es la curvatura de la interfaz, una aproximación de la cual se obtiene linealizando:

{\ Displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}

Entonces,

{\ Displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Sin embargo, esta condición involucra la presión total (= presión básica + perturbación), es decir

{\ Displaystyle \ left [P_ {G} \ left (\ eta \ right) + p '_ {G} \ left (0 \ right) \ right] - \ left [P_ {L} \ left (\ eta \ right ) + p '_ {L} \ left (0 \ right) \ right] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

(Como es habitual, podemos linealizar las perturbaciones de las diferentes magnitudes a lo largo de la superficie z = 0. ) Expresando el equilibrio hidrostático , en la forma

{\ Displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}

obtenemos

{\ Displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}

La alteración del campo de presión es evaluada por las funciones de corriente, gracias a la ecuación del impulso horizontal tomado de las ecuaciones de Euler linealizadas para las perturbaciones, con lo cual se obtiene ${\ Displaystyle {\ frac {\ u_ parcial {i} '} {\ t parcial}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {p_ {i}'} {\ parcial x}} \,}$ ${\ Displaystyle i = L, G, \,}$

{\ Displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} CD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}

Refiriendo esta última ecuación con la condición de salto,

{\ Displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ derecha) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Al explotar la segunda condición de interfaz y al usar la representación del modo normal , esta relación se convierte en ${\ Displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

{\ Displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}

donde también es inútil indexar (solo sus derivados) ya que cuando $\ Psi \,$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ Displaystyle z = 0. \,}$

Solución

Ahora que el modelo de flujo estratificado se ha descrito matemáticamente, la solución está al alcance. La ecuación de las líneas actuales con las condiciones de contorno se resuelve de acuerdo con ${\ Displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \,}$ ${\ Displaystyle \ Psi \ left (\ pm \ infty \ right) \,}$

{\ Displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alpha z}. \,}

La primera condición de interfaz promulga eso en , que impone La tercera condición de interfaz promulga que ${\ Displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ Displaystyle z = 0 \,}$ ${\ Displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$

{\ Displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

Colocando la solución en esta ecuación, formamos la relación

{\ Displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right ) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

La A se simplifica en ambos lados y permanece

{\ Displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,}

Para interpretar completamente este resultado, es interesante considerar el caso donde la tensión superficial es cero. En este caso,

{\ Displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}

y así queda claro que

si , y c es real. Esto es lo que sucede cuando el fluido más ligero está arriba; ${\ Displaystyle \ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,}$ ${\ Displaystyle c ^ {2}> 0 \,}$
si , y c es perfectamente puro: esto es lo que sucede cuando el líquido más pesado está por encima. ${\ Displaystyle \ rho _ {G}> \ rho _ {L} \,}$ ${\ Displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

Entonces, cuando el fluido más pesado está en la parte superior, y ${\ Displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

{\ Displaystyle c = \ pm i {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G } - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}

donde está el número de Atwood . Considerando solo la solución positiva, vemos que la solución es de la forma ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

{\ Displaystyle \ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g {\ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ derecha) \,}

y que está asociado con la posición η de la interfaz por: Establezcamos ahora ${\ Displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$ ${\ Displaystyle B = A / c. \,}$

El tiempo de crecimiento característico de la superficie libre viene dado inicialmente por: ${\ Displaystyle z = \ eta (x, t), \,}$ ${\ Displaystyle \ eta (x, 0) = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \}, \,}$

{\ Displaystyle \ eta = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x \ derecha) \ derecha \} \,}

que crece exponencialmente con el tiempo. Aquí B denota la magnitud de la perturbación inicial y es la parte real de la expresión compleja entre paréntesis. ${\ Displaystyle \ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,}$

En general, la condición para que la inestabilidad sea lineal es que la parte imaginaria de la velocidad compleja c sea positiva. Finalmente, el restablecimiento de la tensión superficial disminuye c 2 en módulo y por lo tanto tiene un efecto estabilizador. De hecho, existe un campo de ondas cortas para el que la tensión superficial estabiliza el sistema y evita la inestabilidad.

Comportamiento a largo plazo

El análisis anterior ya no es válido cuando se trata de una perturbación de gran amplitud: en este caso, el crecimiento es no lineal, los pólipos y las burbujas se entrelazan y terminan en vórtices. Como se ilustra en la figura de al lado, es necesario recurrir a la simulación numérica para describir matemáticamente el sistema.

Notas y referencias

DH Sharp, " Una descripción general de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor ", Physica D , vol. 12,1984, p. 3–18 ( DOI 10.1016 / 0167-2789 (84) 90510-4 )
Drazin (2002) p. 50–51 .
HB Che, B. Hilko y E. Panarella, “ La inestabilidad de Rayleigh-Taylor en el pellizco esférico ”, Journal of Fusion Energy , vol. 13, n o 4,1994, p. 275–280 ( DOI 10.1007 / BF02215847 )
(en) Wang, C.-Y. & Chevalier RA " Inestabilidades y aglomeraciones en remanentes de supernova de tipo Ia ", versión v1,2000.
(en) RJ Tayler ( eds. ), W. Hillebrandt y P. Höflich , Astrofísica estelar , Supernova 1987a en la Gran Nube de Magallanes , Bristol / Filadelfia, CRC Press ,1992, 356 p. ( ISBN 0-7503-0200-3 ) , pág. 249–302 : cf. página 274.
J. Jeff Hester , " La nebulosa del cangrejo: una quimera astrofísica ", Revisión anual de astronomía y astrofísica , vol. 46,2008, p. 127-155 ( DOI 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 )
Drazin (2002) p. 48–52 .
Encontramos un cálculo similar en el trabajo de Chandrasekhar (1981), §92, pp. 433–435.
Shengtai Li y Hui Li, " Código AMR paralelo para ecuaciones MHD o HD comprimibles " , Laboratorio Nacional de Los Alamos (consultado el 5 de septiembre de 2006 )
IUSTI, " Simulación numérica de inestabilidades de Richtmyer-Meshkov " ,6 de octubre de 2008(consultado el 20 de agosto de 2009 )

Ver también

Bibliografía

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Inestabilidad de Rayleigh-Taylor " ( ver lista de autores ) .

Fuentes historicas

John William Strutt Rayleigh , " Investigación del carácter del equilibrio de un fluido pesado incompresible de densidad variable ", Actas de la London Mathematical Society , vol. 14,1883, p. 170-177 ( DOI 10.1112 / plms / s1-14.1.170 )(El documento original está disponible en: https://web.archive.org/web/20061210173022/https://www.irphe.univ-mrs.fr/%7Eclanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf ).
Geoffrey Ingram Taylor , " La inestabilidad de las superficies líquidas cuando se acelera en una dirección perpendicular a sus planos ", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , vol. 201, n o 10651950, p. 192–196 ( DOI 10.1098 / rspa.1950.0052 )

Bibliografía reciente

Subrahmanyan Chandrasekhar , Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética , Publicaciones de Dover ,1981, 652 p. ( ISBN 978-0-486-64071-6 , leer en línea )
PG Drazin , Introducción a la estabilidad hidrodinámica , Cambridge University Press ,2002, xvii + 238 páginas p. ( ISBN 0-521-00965-0 , leer en línea ) .
PG Drazin y WH Reid , estabilidad hidrodinámica , Cambridge, Cambridge University Press ,2004( Reimpresión 2 nd ), 626 p. ( ISBN 0-521-52541-1 , leer en línea )

Inestabilidad de Rayleigh-Taylor

Análisis de estabilidad lineal

Comportamiento a largo plazo

Notas y referencias

Ver también

Bibliografía

Artículos relacionados

enlaces externos