Imagen (matemáticas)

En matemáticas , la noción de imagen está vinculada a la noción de aplicación con varias definiciones distintas.

Dada una aplicación : $f: E \ a F$

para cualquier elemento $x$ de $E$ , el único elemento que está conectado a él en $F$ se llama imagen de $x$ por $f$ , y en este caso decimos que $x$ es un antecedente de por $f$ ; $f (x)$ $f (x)$
el conjunto de imágenes de los elementos de $E$ se llama imagen de $f$ , o simplemente imagen de $f$ , y se denota por ; ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ left \ {f (x), x \ in E \ right \}}$

para cualquier subconjunto , la imagen directa de $A$ por $f$ es el conjunto de elementos de las imágenes de $A$ por $f$ : en otras palabras, es el conjunto de elementos $E$ con al menos un antecedente por $f$ ; $A \ subconjunto E$ ${\ Displaystyle f (A) = \ left \ {f (x), x \ in A \ right \}}$
para cualquier subconjunto , la imagen inversa o preimagen de $B$ por $f$ es el conjunto de los antecedentes de los elementos de $B$ por $f$ : ${\ Displaystyle B \ subconjunto F}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ left \ {x \ in A: f (x) \ in B \ right \}}$

Esta terminología no está reservada solo para las funciones de una variable real sino para cualquier transformación; así hablamos de la imagen de la figura por simetría .

El conjunto de imágenes no debe confundirse con el conjunto de destino (o codominio) de f . Para una función dada f : X → Y , toda la definición es X y el conjunto de llegada es Y . La imagen f ( X ) de X por f , también llamada imagen de f, es típicamente solo un subconjunto Y estricto . Tenemos f ( X ) = Y si y solo si f es una sobreyección .

Imagen de una función

Una función numérica o compleja siempre asocia con cualquier elemento del conjunto de definición E un solo elemento del conjunto de llegada F , esta es la definición de una función. La imagen de par se anota y corresponde al número asociado con x por f . A una imagen pueden corresponder varios antecedentes. ${\ displaystyle f: {\ begin {cases} E \ rightarrow F \\ x \ mapsto y = f (x) \ end {cases}}}$ $X$ $F$ ${\ Displaystyle f (x)}$

ejemplo: para , 8 tiene como imagen , pero 64 tiene como antecedente ${\ Displaystyle f: {\ begin {cases} \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \\ x \ mapsto 8x ^ {2} \ end {cases}}}$ ${\ Displaystyle f (8) = 64}$ ${\ Displaystyle x = 8 \ lor x = -8}$