Identidad Landsberg-Schaar

En las matemáticas , y más precisamente en número teoría y análisis de armónicos , la identidad Landsberg-Schaar es la relación siguiente, cierto para arbitraria enteros positivos p y q :

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi \ mathrm {i} n ^ {2} q} {p}} \ right) = {\ frac {1+ \ mathrm {i}} {2 {\ sqrt {q}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {2q-1} \ exp \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ {2} p} {2q}} \ right)}

Aunque los dos miembros de la igualdad son solo sumas finitas, aún no se ha descubierto ninguna prueba por métodos finitarios. La prueba actual consiste en posar (con ) en la siguiente identidad (debida a Jacobi , y que es esencialmente un caso particular de la fórmula sumatoria de Poisson en el análisis armónico ): ${\ Displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ mathrm {i} q} {p}} + \ varepsilon}$ $\ varepsilon> 0$

{\ Displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ pi n ^ {2} \ tau} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ tau }}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ pi n ^ {2} / \ tau}}

luego tender hacia 0. $\ varepsilon$

Tomando q = 1, la identidad se reduce a la fórmula que da el valor de las sumas cuadráticas gaussianas .

Si pq es par, podemos reescribir la identidad en la forma más simétrica

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ { 2} q} {p}} \ right) = {\ frac {e ^ {\ pi i / 4}} {\ sqrt {q}}} \ sum _ {n = 0} ^ {q-1} \ exp \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ {2} p} {q}} \ right)}

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Relación entre Landsberg y Schaar ” ( ver la lista de autores ) .

(en) Harry Dym (en) y Henry P. McKean (en) , Fourier Series and Integrals , Academic Press ,1972.