Identidad de Binet-Cauchy

En matemáticas , y más particularmente en álgebra , la identidad de Binet - Cauchy , debida a Jacques Philippe Marie Binet y Augustin-Louis Cauchy , dice que:

(∑I=1noaIvsI)(∑j=1noBjDj)=(∑I=1noaIDI)(∑j=1noBjvsj)+∑1≤I<j≤no(aIBj-ajBI)(vsIDj-vsjDI){\ Displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ {j} {\ biggr)} = {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ suma _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {\ biggr)} + ​​\ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

para cualquier conjunto de números reales o complejos (o, más generalmente, de elementos de un anillo conmutativo ). En el caso particular donde a i  =  c i y b j  =  d j , se reduce a la identidad de Lagrange .

Relación con el álgebra externa

Usando el producto escalar y el producto externo (que se identifica, para n = 3, con el producto cruzado ), se puede escribir la identidad

(a⋅vs)(B⋅D)=(a⋅D)(B⋅vs)+(a∧B)⋅(vs∧D){\ Displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = (a \ cdot d) (b \ cdot c) + (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) \,}

donde una , b , c , y d son vectores con n coordenadas. Todavía podemos verlo como una fórmula que da el producto escalar de dos productos externos en función de los productos escalares:

(a∧B)⋅(vs∧D)=(a⋅vs)(B⋅D)-(a⋅D)(B⋅vs).{\ Displaystyle (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) = (a \ cdot c) (b \ cdot d) - (a \ cdot d) (b \ cdot c). \,}

En el caso particular de vectores iguales ( a = c y b = d ), la fórmula se convierte en ( identidad de Lagrange )

|a∧B|2=|a|2|B|2-|a⋅B|2{\ Displaystyle | a \ wedge b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}}

Demostración

Desarrollando el último término y sumando y restando sumas complementarias bien elegidas, obtenemos:

∑1≤I<j≤no(aIBj-ajBI)(vsIDj-vsjDI){\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

=∑1≤I<j≤no(aIvsIBjDj+ajvsjBIDI)+∑I=1noaIvsIBIDI-∑1≤I<j≤no(aIDIBjvsj+ajDjBIvsI)-∑I=1noaIDIBIvsI{\ Displaystyle = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} + a_ {j} c_ {j} b_ {i} d_ { i}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {i} d_ {i} - \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ { i} d_ {i} b_ {j} c_ {j} + a_ {j} d_ {j} b_ {i} c_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {i} c_ {i}}

lo que permite agrupar:

=∑I=1no∑j=1noaIvsIBjDj-∑I=1no∑j=1noaIDIBjvsj.{\ Displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}

Factorizando los términos indexados por i , los resultados de identidad.

Generalización

Una forma más general, conocida como fórmula de Binet-Cauchy , dice que, si A es una matriz m × n y B es una matriz n × m , tenemos

det(AB)=∑S⊂{1,...,no}|S|=metrodet(AS)det(BS),{\ Displaystyle \ det (AB) = \ sum _ {\ scriptstyle S \ subconjunto \ {1, \ ldots, n \} \ encima \ scriptstyle | S | = m} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S}),}

donde, S es un subconjunto de {1, ..., n } que tiene m elementos, A S es la matriz m × m cuyas columnas son las de A que tienen sus índices en S , e igualmente B S es la matriz m × m formado por filas de B de índices en S  ; en esta fórmula, la suma se toma sobre todos los subconjuntos posibles.

La identidad de Binet-Cauchy se deduce como un caso particular, planteando

A=(a1...anoB1...Bno),B=(vs1D1⋮⋮vsnoDno).{\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & \ dots & a_ {n} \\ b_ {1} & \ dots & b_ {n} \ end {pmatrix}}, \ quad B = {\ begin {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} \\\ vdots & \ vdots \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix}}.}

Notas y referencias

• (es) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Binet - Identidad de Cauchy  " ( ver la lista de autores ) .

1. (en) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press , 2003, 2 nd  ed. , 3242  p. ( ISBN  978-1-58488-347-0 ) , “Identidad de Binet-Cauchy” , pág.  228