Horociclo
En geometría hiperbólica , un horociclo (oa veces horociclo , del griego moderno : ὅριον + κύκλος - borde + círculo) es una curva cuyas normales convergen asintóticamente hacia el mismo punto en el infinito . Generalizando ciertas propiedades de las líneas y círculos euclidianos, los horociclos se representan en el modelo del disco de Poincaré mediante círculos tangentes al círculo límite.
Definición
En geometría euclidiana , una curva de la cual todas las normales son paralelas es una línea. En geometría hiperbólica , se denomina horociclo a una curva de la cual todas las normales son asintóticamente paralelas, es decir que no son secantes, sino que su distancia tiende de 0 a infinito; todas estas normales, llamadas rayos del horociclo, por lo tanto convergen hacia el mismo punto en el infinito , el centro del horociclo.
Un horociclo también se puede definir como la curva límite de una familia de círculos que tienen una tangente común en un punto dado, cuando el radio de estos círculos tiende a infinito. Según el lado de la tangente, obtenemos así dos horociclos, que tienen por centros los puntos en el infinito de la perpendicular a la tangente en este punto. De la misma manera, se puede obtener un horociclo como curva límite de hiperciclos cuyo radio tiende hacia el infinito; en este sentido, existe una analogía entre horociclos y líneas euclidianas, que se extiende a una analogía entre paralelos asintóticos e hiperparalelos, por un lado, y horociclos e hiperciclos, por el otro.
Propiedades
Algunas de las propiedades siguientes son análogas a las propiedades de los círculos y los hiperciclos ; en este sentido, los horociclos y los hiperciclos pueden verse como círculos generalizados del plano hiperbólico.
- A través de cualquier par ( A, B ) de puntos distintos pasan dos horociclos, cuyos centros son los puntos en el infinito de la bisectriz perpendicular del segmento AB .
- Por un punto A de una recta D pasan dos horociclos tangentes a D en A (pasando al límite del resultado anterior cuando B tiende hacia A ); estos horociclos son límites de los círculos tangentes a D en A cuando el radio de estos círculos tiende a infinito.
- Tres puntos de un horociclo no están alineados, ni son cocíclicos , ni están en un hiperciclo común.
- Deducimos que dos curvas de la familia de líneas, círculos, horociclos e hiperciclos tienen como máximo dos puntos en común
- La bisectriz perpendicular de un cordón de un horociclo es normal al horociclo y biseca el arco subtendido por el cordón.
- A pesar de las apariencias (en el disco de Poincaré , por ejemplo), dos horociclos cualesquiera son congruentes , incluso si son concéntricos , es decir, si tienen el mismo punto en el infinito.
Propiedades métricas
- La longitud de un arco de horociclo entre dos puntos es mayor que la de cualquier arco de hiperciclo entre estos puntos (y por supuesto que la del segmento que los une), pero menor que la de cualquier arco de un círculo entre ellos.
- La longitud de una cuerda entre dos puntos de un horociclo que tiende hacia el centro desde ambos lados tiende al infinito, a pesar de lo que el modelo de disco de Poincaré muestra que estos puntos se acercan.
- Si C es el centro de un horociclo y A y B son dos puntos del horociclo, los ángulos y son iguales (en otras palabras, el triángulo "ideal" ACB es isósceles).
- El área de un sector de horociclo (el espacio entre dos rayos y el arco que cortan) es finita.
Tomando como curvatura del plano hiperbólico K = −1:
- La longitud s de un arco de horociclo entre dos puntos separados por una distancia d es (donde sinh es la función del seno hiperbólico ).
- La longitud de un arco de horociclo tal que la tangente en un extremo es asintóticamente paralela al radio correspondiente al otro extremo es 1; lo mismo ocurre con el área del sector correspondiente a este arco.
- La curvatura geodésica ( pulgadas ) de un horociclo es igual a 1 en cada punto.
Representaciones en modelos del plano hiperbólico
Modelos Poincaré
En el modelo de disco de Poincaré , los horociclos están representados por círculos tangentes al círculo límite, y su centro es el punto de tangencia; el conjunto de horociclos que tienen un centro común forma un haz de círculos , ortogonal al haz de "líneas rectas" que pasan por este centro. En el modelo del semiplano de Poincaré , las horociclos están igualmente representadas por círculos tangentes a la línea límite (el eje de abscisas), así como por líneas paralelas a este eje, cuyo centro es el punto en l 'infinito de el eje y.
Modelo hiperboloide
En el modelo hiperboloide , los horociclos están representados por las intersecciones del hiperboloide con planos cuyas normales pertenecen al cono asintótico.
Ver también
Notas y referencias
- ( fr ) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Horocycle " ( consulte la lista de autores ) .
- (en) AB Sossinsky , Geometrías , Providence, RI, Sociedad Matemática Estadounidense,2012, 141–2 pág. ( ISBN 9780821875711 )
- HSM Coxeter , Geometría no euclidiana , Washington, DC, Matemática Assoc. de América,1998, 6 ª ed. , 243 –244 p. ( ISBN 978-0-88385-522-5 , leer en línea )
- En el caso general, las distancias en estas fórmulas deben multiplicarse por - K y las áreas por K 2 .
- Smogorzhevsky , Lobachevskian Geometry , Moscú, Mir,1976, p. sesenta y cinco
- DMY Sommerville , Los elementos de la geometría no euclidiana , Mineola, NY, Dover Publications,2005, Unabr. y republica inalterada. ed. ( ISBN 0-486-44222-5 ) , pág. 58
- HSM Coxeter , Geometría no euclidiana , Washington, DC, Matemática Assoc. de América,1998, 6 ª ed. ( ISBN 978-0-88385-522-5 , leer en línea ) , 250
Bibliografía
- HSM Coxeter (1961) Introducción a la geometría , §16.6: "Círculos, horociclos y curvas equidistantes", página 300, 1, John Wiley & Sons .
- Cuatro pilares de geometría p. 198
enlaces externos
- “ Modelo hiperbólico de Poincaré -Horociclos ” , en cabri.net (consultado el 16 de abril de 2021 )