Fórmula de Machin

La fórmula de Machin fue descubierta en 1706 por John Machin y conecta el número π al arco trigonométrico tangente  :

π4=4arctan⁡15-arctan⁡1239.{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}.}

Esta fórmula da una aproximación del número π gracias al desarrollo en series de potencias de la función arcangente. John Machin lo usó para obtener los primeros cien lugares decimales de π .

Demostraciones

La fórmula de Machin se puede demostrar usando la identidad trigonométrica broncearse⁡(a+B)=broncearse⁡a+broncearse⁡B1-broncearse⁡abroncearse⁡B.{\ Displaystyle \ tan (a + b) = {{\ tan a + \ tan b} \ over {1- \ tan a \ tan b}}.}

Una forma moderna de presentar el resultado es relacionarlo con las propiedades de los números complejos . La fórmula de Machin se deriva de la siguiente identidad entre números complejos: (5+I)4(239+I)=2×(1+I).{\ Displaystyle {(5 + {\ rm {i}}) ^ {4} \ over (239 + {\ rm {i}})} = 2 \ times (1 + {\ rm {i}}).}

De hecho, podemos mostrar la siguiente equivalencia: metroarctan⁡1X+arctan⁡1y≡π4(modificaciónπ)⇔(X+I)metro(y+I)mi-Iπ4∈R.{\ Displaystyle m \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan {\ frac {1} {y}} \ equiv {\ frac {\ pi} {4}} {\ pmod {\ pi}} \ Flecha izquierda (x + {\ rm {i}}) ^ {m} (y + {\ rm {i}}) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} {\ frac {\ pi} {4}}} \ in \ mathbb {R}.}

Esto nos permite concluir señalando que aún podemos reemplazar por y comprobando que está estrictamente entre y . y+I{\ Displaystyle y + {\ rm {i}}}1-y+I{\ Displaystyle {\ frac {1} {- y + {\ rm {i}}}}}4arctan⁡15-arctan⁡1239{\ Displaystyle 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}π4-π{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} - \ pi}π4+π{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} + \ pi}

usar

El desarrollo de arctan en series enteras proporciona el siguiente método de cálculo: π4=4∑no=0∞(-1)no12no+1(15)2no+1-∑no=0∞(-1)no12no+1(1239)2no+1.{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ over {2n + 1}} \ left ( {\ frac {1} {5}} \ right) ^ {2n + 1} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ over {2n + 1} } \ left ({\ frac {1} {239}} \ right) ^ {2n + 1}.}

Fórmulas de tipo de Machin

Se han descubierto otras fórmulas del mismo tipo, y llamamos "fórmulas del tipo de Machin" a las fórmulas de la forma: π4=∑noNOanoarctan⁡1Bno{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ sum _ {n} ^ {N} a_ {n} \ arctan {\ frac {1} {b_ {n}}}} donde el y el son números enteros . ano{\ Displaystyle a_ {n}}Bno{\ Displaystyle b_ {n}}

Solo hay otras tres fórmulas del tipo de Machin con solo dos términos. Fueron descubiertos respectivamente por Euler , Hermann y Hutton (1776, utilizados por Vega en 1789): π4=arctan⁡12+arctan⁡13,{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {3}},} π4=2arctan⁡12-arctan⁡17,{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {2}} - \ arctan {\ frac {1} {7}},} π4=2arctan⁡13+arctan⁡17.{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {3}} + \ arctan {\ frac {1} {7}}.}

Se derivan respectivamente de las siguientes identidades entre números complejos: (2+I)(3+I)=5(1+I),{\ Displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) (3 + {\ rm {i}})} = 5 (1 + {\ rm {i}}),} (2+I)2(7+I)=1+I2,{\ Displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) ^ {2} \ over (7 + {\ rm {i}})} = {\ frac {1 + {\ rm {i}}} {2 }},} (3+I)2(7+I)=50(1+I).{\ Displaystyle {(3 + {\ rm {i}}) ^ {2} (7 + {\ rm {i}})} = 50 (1 + {\ rm {i}}).}

De hecho, es posible construir un número infinito de tales fórmulas usando más términos, pero solo las fórmulas históricamente más eficientes para calcular el número se han vuelto famosas. π{\ Displaystyle \ pi}π4=12arctan⁡118+8arctan⁡157-5arctan⁡1239{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {18}} + 8 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}}} ( Carl Friedrich Gauss ) π4=44arctan⁡157+7arctan⁡1239-12arctan⁡1682+24arctan⁡112943{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}} ( Carl Størmer , 1896) π4=12arctan⁡149+32arctan⁡157-5arctan⁡1239+12arctan⁡1110443{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}} ( Kikuo Takano , 1982).

La búsqueda de fórmulas efectivas de Machin ahora se realiza de forma sistemática utilizando computadoras. Las fórmulas más eficientes del tipo de Machin actualmente conocidas para calcular π son: π4=183arctan⁡1239+32arctan⁡11023-68arctan⁡15832+12arctan⁡1110443-12arctan⁡14841182-100arctan⁡16826318{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {4841182}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}}} 黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 1997) π4=183arctan⁡1239+32arctan⁡11023-68arctan⁡15832+12arctan⁡1113021-100arctan⁡16826318-12arctan⁡133366019650+12arctan⁡143599522992503626068{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {113021}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {33366019650}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {43599522992503626068}}} 黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 2003)

Hay otras fórmulas que convergen más rápidamente a π , como la fórmula de Ramanujan , pero no son del tipo de Machin.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “  Fórmula similar a Machin  ” ( ver la lista de autores ) .

1. Véase, por ejemplo, este ejercicio corregido en Wikiversidad .
2. (en) Carl Størmer , "  Solución completa en números enteros de la ecuaciónmetroarctan⁡1X+noarctan⁡1y=kπ4{\ Displaystyle m \ arctan {\ frac {1} {x}} + n \ arctan {\ frac {1} {y}} = k {\ frac {\ pi} {4}}}  " , Bull. Soc. Matemáticas. Francia , vol.  27,1899, p.  160-170 ( leer en línea ).
3. (en) Eric W. Weisstein , "  Fórmulas tipo Machin  " en MathWorld .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">