Función gamma multidimensional

La función gamma multivariante , Γ p (·), es la generalización de la función gamma . En las estadísticas multivariadas , aparece en la función de densidad de la ley de Wishart y de la ley de Wishart inversa .

Definiciones

{\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ int _ {S> 0} \ left | S \ right | ^ {a- (p + 1) / 2} \ e ^ {- {\ rm {trace (S)}}} dS,}

donde S> 0 significa que S es una matriz definida positiva .

En la práctica, utilizamos

{\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ Gamma \ left [a + (1-j) / 2 \ derecha].}

El cálculo se ve facilitado por las relaciones de recurrencia:

{\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {(p-1) / 2} \ Gamma (a) \ Gamma _ {p-1} (a - {\ tfrac {1} {2} })}

{\ Displaystyle = \ pi ^ {(p-1) / 2} \ Gamma _ {p-1} (a) \ Gamma [a + (1-p) / 2].}

Entonces,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (a) = \ Gamma (a)}$
${\ Displaystyle \ Gamma _ {2} (a) = \ pi ^ {1/2} \ Gamma (a) \ Gamma (a-1/2)}$
${\ Displaystyle \ Gamma _ {3} (a) = \ pi ^ {3/2} \ Gamma (a) \ Gamma (a-1/2) \ Gamma (a-1)}$

etc.

Definimos la función digamma multivariante:

{\ Displaystyle \ psi _ {p} (a) = {\ frac {\ parcial \ log \ Gamma _ {p} (a)} {\ parcial a}} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi (a + (1-i) / 2),}

{\ Displaystyle \ psi _ {p} ^ {(n)} (a) = {\ frac {\ parcial ^ {n} \ log \ Gamma _ {p} (a)} {\ parcial a ^ {n}} } = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi ^ {(n)} (a + (1-i) / 2).}

Cálculo

Visto que

{\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ Gamma (a + {\ frac {1-j } {2}}),}

disparamos

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Gamma _ {p} (a)} {\ parcial a}} = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ sum _ {i = 1} ^ {p } {\ frac {\ parcial \ Gamma (a + {\ frac {1-i} {2}})} {\ parcial a}} \ prod _ {j = 1, j \ neq i} ^ {p} \ Gamma (a + {\ frac {1-j} {2}}).}

Por definición de la función digamma ψ,

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Gamma (a + {\ frac {1-i} {2}})} {\ parcial a}} = \ psi (a + {\ frac {1-i} {2 }}) \ Gamma (a + {\ frac {1-i} {2}})}

resulta que

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Gamma _ {p} (a)} {\ parcial a}} = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {p } \ Gamma (a + {\ frac {1-j} {2}}) \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi (a + {\ frac {1-i} {2}})}

{\ Displaystyle = \ Gamma _ {p} (a) \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi (a + {\ frac {1-i} {2}}).}

James A., "Distribuciones de variables de matriz y raíces latentes derivadas de muestras normales", Annals of Mathematical Statistics vol.35 / 2, 1964, páginas 475–501