Función de Bessel modificada

Las funciones de Bessel modificadas generan el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial

x ^ 2 \ frac {\ text {d} ^ 2 y} {\ text {d} x ^ 2} + x \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} - (x ^ 2 + n ^ 2) y = 0

Las funciones de Bessel modificadas del primer tipo I n y del segundo tipo K n están relacionadas con la función de Bessel del primer tipo J n por

{\ Displaystyle I_ {n} (x) = i ^ {- n} \, J_ {n} (ix) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m! \ , (m + n)!}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2m + n}}

{\ Displaystyle K_ {n} (x) = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {i ^ {n} J _ {- n} (ix) -i ^ {- n} J_ {n } (ix)} {\ sin (n \ pi)}}}

cuando y

{\ Displaystyle n \ notin \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle K_ {n} (x) = \ lim \ limits _ {p \ to n} {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {i ^ {p} J _ {- p} (ix ) -i ^ {- p} J_ {p} (ix)} {\ sin (p \ pi)}}}

cuando

{\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}

Propiedades de K n

K_n (z) = \ frac {2 ^ n \ Gamma (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}} z ^ n \ int_0 ^ {+ \ infty} \ frac {\ cos x} {(z ^ 2 + x ^ 2) ^ {n + 1/2}} \, \ text {d} x

K_n (z) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ n \ Gamma (n + 1/2)} z ^ n \ int_1 ^ {+ \ infty} (x ^ 2-1) ^ {n -1/2} \ exp (-zx) \, \ text {d} x

(para n> -1/2)