Función plena y fiel
En la teoría de categorías , un funtor completo (respectivamente fiel ) es un funtor cuya restricción a cada uno de los conjuntos de morfismos es sobreyectiva (respectivamente inyectiva ).
Definición
Let C y D tanto en categorías y F : C → D un funtor C a D . Para X e Y de los objetos de C , el funtor F induce una función
El funtor F se dice:
- fiel si para todo X , Y en C , F X , Y es inyectivo ;
- completo si para todo X , Y en C , F X , Y es sobreyectiva ;
- Totalmente fiel si para todo X , Y en C , F X , Y es biyectiva .
Propiedades
Un funtor fiel no necesita necesariamente inyectar los objetos o los morfismos de las categorías involucradas. Se pueden enviar dos objetos X y X ' al mismo objeto en D (esta es la razón por la que la imagen de un funtor completamente fiel es no necesariamente isomorfo al campo), y dos morfismos f : X → y y f : X ' → y' puede enviar el mismo morfismo D . De la misma manera, un funtor completo no es necesariamente sobreyectivo en objetos o morfismos. Puede haber objetos de D que no son de la forma de FX con X en C y morfismos entre estos objetos puede ser entonces por imagen de un morfismo C .
Sin embargo, un functor completamente fiel es inyectivo hasta el isomorfismo en los objetos. Es decir, si F : C → D es completamente fiel, entonces .
Ejemplos de
- El functor de olvido U : Grp → Set es fiel porque cualquier morfismo entre dos grupos es un mapa entre sus conjuntos subyacentes. No está completo porque algunas asignaciones entre dos grupos no son morfismos de grupo.
Una categoría con un functor fiel a Set es (por definición) una categoría concreta y, en general, este functor de olvido no está completo.
- El functor de inclusión Ab → Grp , de la categoría de grupos abelianos a la de grupos, es totalmente fiel, porque cualquier morfismo de grupos abelianos es un morfismo de grupos y cualquier morfismo de grupos entre dos grupos abelianos es un morfismo de grupos abelianos.
Notas y referencias
( fr ) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Functores plenos y fieles " ( ver lista de autores ) .- (en) Saunders MacLane , Categorías de Trabajo para el matemático [ detalle de la edición ], p. 14-15 .
- (en) Nathan Jacobson , Álgebra Básica , vol. 2, Dover ,2009, 2 nd ed. , 686 p. ( ISBN 978-0-486-47187-7 , leer en línea ) , pág. 22.