Espacio pseudométrico

En matemáticas , un espacio pseudométrico es un conjunto provisto de un pseudométrico . Es una generalización de la noción de espacio métrico .

En un espacio vectorial , así como una norma induce una distancia , una semi-norma induce una pseudometría. Por esta razón, en el análisis funcional y disciplinas matemáticas relacionadas, el término espacio semimétrico se usa como sinónimo de espacio pseudométrico (mientras que " espacio semimétrico " tiene otro significado en topología).

Definición

Una pseudométrica en un conjunto es una aplicación $X$

{\ Displaystyle \ mathrm {d}: X \ multiplicado por X \ a \ mathbb {R} _ {+}}

tal que por todo , ${\ Displaystyle x, y, z \ en X}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, x \ right) = 0}$ ;
${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = \ mathrm {d} \ left (y, x \ right)}$ (simetría);
${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, z \ right) \ leq \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) + \ mathrm {d} \ left (y, z \ right)}$ ( desigualdad triangular ).

En otras palabras, una pseudometría es una desviación de valor finito.

Un espacio pseudométrico es un conjunto provisto de uno pseudométrico.

A diferencia de los de un espacio métrico, los puntos de un espacio pseudométrico no son necesariamente discernibles, es decir, se pueden tener puntos distintos . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Ejemplos de

Si es una desviación de un conjunto , entonces es una pseudométrica activada ; ${\ mathrm d}$ $X$ ${\ Displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}$ $X$
Si es una semi-norma sobre un espacio vectorial , entonces es una pseudométrica . Por el contrario, cualquier pseudométrico invariante traslacional homogéneo proviene de una semi-norma. Un ejemplo concreto de tal situación está en el espacio vectorial de funciones con valores reales : eligiendo un punto , podemos definir un pseudométrico por . $pag$ $V$ ${\ mathrm d} \ left (x, y \ right) = p \ left (xy \ right)$ $V$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ en X$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ left (f, g \ right) = | f \ left (x_ {0} \ right) -g \ left (x_ {0} \ right) |}$

La topología pseudométrica asociada a una pseudométrica es la inducida por el conjunto de bolas abiertas: ${\ mathrm d}$

{\ Displaystyle B_ {r} \ left (p \ right) = \ {x \ in X \ mid \ mathrm {d} \ left (p, x \ right) <r \}}

Se dice que un espacio topológico es “pseudometrizable” si hay una pseudométrica cuya topología asociada coincide con la del espacio.

Nota: Un espacio es metrizable si (y solo si) es pseudometrizable y T 0 .

Identificación métrica

Cociente de un espacio pseudométrico por la relación de equivalencia de cancelación de la pseudométrica, obtenemos un espacio métrico . Más explícitamente, definimos

{\ Displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = 0}

y obtenemos una distancia de por ajuste: ${\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ right)

La topología del espacio métrico es la topología del cociente del de . ${\ Displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ Displaystyle (X, \ mathrm {d})}$

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Espacio pseudométrico " ( ver la lista de autores ) .

(in) " Topología pseudométrica " en PlanetMath .

Bibliografía

(en) AV Arkhangelskii y LS Pontryagin , Topología general I , Springer ,1990, 202 p. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
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Laurent Schwartz , Curso de análisis , vol. 2, Hermann ,1981, 475 p. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
(en) Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , Contraejemplos en topología , Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leer en línea ) , pág. 34