Criterio de Eisenstein

En las matemáticas , el " criterio de Eisenstein ", publicado anteriormente por Theodor Schönemann , da condiciones suficientes para un polinomio de coeficientes todo es irreductible en el cuerpo de los números racionales . Si este polinomio también es primitivo (es decir, si no tiene divisores constantes no triviales), entonces también es irreductible en el anillo de números enteros (de hecho, es esta irreductibilidad lo que afirma el criterio; la irreductibilidad en números racionales se sigue de la fórmula de Gauss lema ).

Estados

Considere un polinomio $P ( X )$ con coeficientes enteros, que denotamos por

P (X) = a_nX ^ n + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + a_1X + a_0.

Suponga que hay un número primo $p$ tal que:

$\ forall i \ in \ {0,1, \ ldots, n-1 \},$ $p$ divide ; $tengo}$
$p$ no divide $a n$ ;
$p 2$ no divide $a 0$ .

Entonces $P ( X )$ es irreducible en el anillo de polinomios con coeficientes racionales. Si además $P$ $($ $X$ $)$ es primitivo, entonces según el lema de Gauss , $P$ $($ $X$ $)$ es irreducible en el anillo de polinomios con coeficientes enteros. $\ mathbb {Q} [X]$ $\ mathbb {Z} [X]$

Demostración

Reducimos los coeficientes de $P ( X )$ módulo $p$ . Obtenemos un polinomio de F p [ X ] de la forma $cX n$ con $c$ elemento distinto de cero del campo finito F p .

Razonemos por lo absurdo y supongamos que $P = P ( X )$ se factoriza en $P = QR$ , donde $Q$ y $R$ son polinomios de grados distintos de cero. A partir del lema de Gauss , podemos suponer que $Q$ y $R$ tienen coeficientes enteros. Al reducir el módulo $p$ , vemos que $Q$ $mod$ $p$ y $R$ $mod$ $p$ son necesariamente monomios $dX$ $k$ y $eX$ $n - k$ , donde $de = c$ . En particular, $Q$ $(0)$ y $R$ $(0)$ son divisibles por $p$ , por lo que $a$ $0$ $=$ $Q$ $(0)$ $R$ $(0)$ es divisible por $p$ $2$ , lo cual es una contradicción. Entonces $P$ es irreductible en . $\ mathbb {Q} [X]$ $\ mathbb {Q} [X]$

Ejemplos de

Considere el polinomio $P (X) = 3X ^ 4 + 15X ^ 2 + 10.$

Examinamos diferentes casos para los siguientes valores de p :

p = 2. 2 no divide 15, no podemos concluir;
p = 3. 3 no divide a 10, no podemos concluir;
p = 5. 5 divide 15, el coeficiente de $X 2$ y 10 el coeficiente constante. 5 no divide a 3, el coeficiente dominante. Además, 25 = 5 2 no divide 10. Así, concluimos gracias al criterio de Eisenstein que $P ( X )$ es irreductible.

En algunos casos, elegir el número primo puede no ser obvio, pero puede ser más fácil cambiando una variable de la forma $Y = X + a$ , llamada traducción .

Por ejemplo, considere $H ( X ) = X 2 + X + 2$ . Las criterio aparece comprometida ya que ningún número primo no divide 1, el coeficiente de $X$ . Pero si traducimos $H$ en $H ( X + 3) = X 2 + 7 X + 14$ , vemos inmediatamente que el número primo 7 divide el coeficiente de $X$ y el coeficiente constante, y que 49 no divide 14. Por lo tanto, traduciendo hicimos que el polinomio satisfaga el criterio de Eisenstein.

Otro caso conocido es el del polinomio ciclotómico de índice un entero primo $p$ , es decir, el polinomio

\ frac {X ^ p - 1} {X - 1} = X ^ {p - 1} + X ^ {p - 2} + \ cdots + X + 1.

Aquí, el polinomio satisface el criterio de Eisenstein, en una nueva variable $Y$ después de una traslación $X = Y + 1$ . El coeficiente constante es entonces igual $ap$ , el coeficiente dominante es igual a 1 y los otros coeficientes son divisibles por $p$ según las propiedades de los coeficientes binomiales .

Generalización

Sea A un anillo integral y sea $P$ un polinomio con coeficientes en A , denotado por

P (X) = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i X ^ i.

Suponemos que ningún elemento no invertible de A divide (todos los coeficientes de) $P$ , y que existe un ideal primo $I$ de A tal que

$a_i \ en yo$ por todo ; $i \ in \ {0,1, \ ldots, n-1 \}$
$a_n \ notin yo$ ;
$a_0 \ notin I ^ 2$ , donde $I 2$ es el producto del ideal $I$ por sí mismo.

Entonces $P ( X )$ es irreductible en A [ X ]. La demostración es similar a la anterior, al reducir módulo $I$ una supuesta descomposición de $P ( X )$ como un producto de polinomios no constantes; el argumento central es que en el anillo se integra A / $I$ , un polinomio con un solo término solo se puede descomponer en polinomios que también tienen un solo término.

Si A es un anillo factorial , podemos tomar por $I$ el ideal generado por cualquier elemento irreducible. En este caso, también podemos concluir que $P ( X )$ es irreductible en K [ X ] donde K es el campo de las fracciones de A , gracias al lema de Gauss . Para esta conclusión, la condición de que $P ( X )$ no sea divisible por ninguna constante no invertible se vuelve superflua, porque dicha constante (que hace que $P ( X ) sea$ reducible en A [ X ]) es invertible en K [ X ], y n 'por lo tanto, no evita la irreductibilidad. Así, encontramos la versión básica del criterio para A = . De hecho, Gotthold Eisenstein formuló su criterio para los casos en los que A es el anillo de los enteros relativos o el de los enteros gaussianos . $\ mathbb {Z}$

Notas y referencias

(De) T. Schönemann, " Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind " , J. queen angew. Matemáticas. , vol. 32,1846, p. 93-118 ( leer en línea ), p. 100 .
(De) G. Eisenstein, " Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt " , J. queen angew. Matemáticas. , vol. 39,1850, p. 160-179 ( leer en línea ), p. 167 .

Ver también

Enlace externo

(en) Keith Conrad , " Primos totalmente ramificados y polinomios de Eisenstein "