Curva dibujada en una superficie

En geometría diferencial , una curva dibujada en una superficie Σ es un mapa diferenciable de imagen contenido en Σ. ${\ Displaystyle c: I \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle c (I)}$

Ejemplos destacados

En la esfera unitaria S 2 de ℝ 3 , un círculo grande es la traza en S 2 de un plano vectorial. Es la curva trazada en S 2 dada por ${\ Displaystyle c: \ theta \ mapsto (\ cos \ theta) ~ V + (\ sin \ theta) ~ W}$ donde V y W son dos vectores unitarios ortogonales.
En una superficie Σ, una geodésica es una curva c dibujada en Σ cuya aceleración es ortogonal a Σ. Los grandes círculos de las esferas son geodésicos. Son los únicos. ${\ Displaystyle c '' (t)}$
En Semana Santa , los artistas dibujan huevos. Los patrones dorados de enfrente son curvas dibujadas en la concha.
De manera más general, los dibujos sobre objetos consisten en áreas de relleno delimitadas por curvas dibujadas en la superficie del objeto.

Propiedades métricas

El uso de curvas dibujadas sobre una superficie Σ permite establecer el vínculo entre la curvatura de una curva y la segunda forma fundamental II de Σ, un objeto matemático que permite el cálculo de las curvaturas principales de Σ.

Si c es una curva dibujada en la superficie, y , entonces es la componente normal a Σ de la aceleración : ${\ Displaystyle P = c (0)}$ ${\ Displaystyle V = c '(0)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {II} _ {P} (V)}$ ${\ Displaystyle c '' (0)}$

{\ Displaystyle \ mathrm {II} _ {P} (V) = \ langle c '' (0) | \ nu (P) \ rangle.}

Demostración

Introduzcamos la proyección ortogonal de en el plano vectorial . Localmente, Σ es la gráfica de una función f definida en el plano tangente . Para t cercano a 0, viene: $v (t)$ ${\ Displaystyle c (t) -P}$ $T_ {P} \ Sigma$ $T_ {P} \ Sigma$ ${\ Displaystyle P + v (t) + f (v (t)) \ nu (P) = do (t) = P + tV + {\ frac {t ^ {2}} {2}} do '' ( 0) + o (t ^ {2})}$ Entonces ${\ Displaystyle f (v (t)) = {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ langle c '' (0) | \ nu (P) \ rangle + o (t ^ {2}) {\ text {y}} v (t) = tV + o (t).}$ Sin embargo, por definición de la segunda forma fundamental , es el doble de la parte principal de la expansión limitada de f en 0 a orden 2. Por lo tanto, viene: ${\ Displaystyle \ mathrm {II} _ {P}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ langle c '' (0) | \ nu (P) \ rangle + o (t ^ {2}) = f (v (t)) = {\ frac {t ^ {2}} {2}} ~ \ mathrm {II} _ {P} (V) + o (t ^ {2}),}$ de ahí el resultado anunciado.

Ver también

Hito de Darboux