En la teoría de números algebraicos , el campo de Hilbert H (K) de un campo de números algebraicos K es la extensión abeliana no ramificada máxima de este campo de números. Este objeto debe su nombre al matemático alemán David Hilbert . Su estudio es al mismo tiempo una etapa importante, y un arquetipo, para la teoría de los campos de clases : a través del isomorfismo de reciprocidad ( símbolo de Artin ) de la correspondencia del cuerpo de clases, el grupo de Galois Gal (H (H (K) / K) es isomorfo al grupo de clases del cuerpo K . El cuerpo Hilbert H (K) es en particular una extensión finita de K .
Se puede admitir la ramificación de los lugares hasta el infinito: hablaremos entonces de “cuerpo de Hilbert en sentido restringido”. Para cada número primo p , también podemos considerar la máxima sub- p -extensión de H (K) , que llamaremos p cuerpo -Hilbert, denotado H p (K) , cuyo grupo de Galois será isomorfo a p - Sylow subgrupo del grupo de la clase.
Una propiedad importante de la extensión H (K) / K es que cualquier ideal primo del cuerpo K se convierte en principal como ideal del cuerpo H (K) . Estamos hablando de capitulación.
La posibilidad así ofrecida de realizar el grupo de clases de un campo como un grupo de Galois de una extensión cuyas propiedades aritméticas son funcionalmente estables tiene importantes consecuencias para el estudio de estos grupos de clases. La teoría de Iwasawa , que da las fórmulas asintóticas para el cardinal p -sous-group del grupo de clases Sylow, es un ejemplo espectacular.
Una pregunta clásica sobre p -Corps Hilbert es el problema de los giros (in) Hilbert. Considerando sucesivamente las extensiones H i + 1 p (K) = H p (H i p (K)) , ¿obtenemos siempre en el límite una extensión finita? El matemático ruso Igor Chafarevich y su alumno Evgeny Golod respondieron negativamente a esta pregunta en 1964, gracias al teorema de la teoría de grupos ahora llamado teorema de Golod-Chafarevich .