En ciencia de materiales , y en particular en mecánica de medios continuos y resistencia de materiales , las tensiones principales (σ I , σ II , σ III ) son las tensiones expresadas en una base tal que el tensor de tensiones es una matriz diagonal . Esta base es ortonormal (ver Matriz simétrica, § Descomposición espectral ).
El estado de tensión de un elemento de la materia se puede representar mediante un tensor, el tensor de tensión. En una base de espacio dada , este tensor está representado por una matriz de 3 × 3:
.Si el tensor de tensión describe un estado de equilibrio, entonces la matriz es simétrica ; es además con coeficientes reales .
Según el teorema espectral de dimensión finita , esta matriz es diagonalizable ; existe una base ortonormal para la cual esta matriz es una matriz diagonal :
.Las direcciones se denominan direcciones principales .
Por convención, tomamos σ I ≥ σ II ≥ σ III .
La tensión σ I corresponde a la tensión máxima de tracción. Si σ III <0, entonces σ III corresponde al esfuerzo de compresión máximo. El esfuerzo cortante máximo, que se retuvo para el criterio de Tresca , corresponde a
.Si no imponemos un orden de restricciones decrecientes, entonces
.Las líneas de corriente de las tensiones principales, es decir, las curvas que son tangentes a los vectores de tensión principales en cualquier punto, se denominan líneas isostáticas . Permiten visualizar cómo se distribuyen las fuerzas internas en el material.
Resultado : el esfuerzo principal máximo corresponde al esfuerzo de tracción máximo.
Si el esfuerzo principal mínimo es negativo, entonces corresponde al esfuerzo de compresión máximo.
El esfuerzo cortante máximo vale:
.Esto es importante cuando queremos estudiar los riesgos de rotura. De hecho, el uso de una tensión escalar equivalente como la tensión de von Mises o la tensión de Tresca no indica si un área está sujeta a tensión, compresión y / o cortante. Sin embargo, una tensión de tipo compresión es menos peligrosa porque tiende a cerrar grietas .
Podemos determinar las principales direcciones y tensiones:
Los autovalores λ verifican la ecuación
det (T - λI) = 0donde T es el tensor de tensión e I la matriz de identidad. Podemos reescribir esta ecuación con las invariantes del tensor de tensión :
λ 3 - Yo 1 λ 2 + Yo 2 λ - Yo 3 = 0.Imponemos σ I > σ II > σ III .
Tenga en cuenta que, por definición de la raíz de un polinomio , tenemos
(λ - σ I ) (λ - σ II ) (λ - σ III ) = 0Considere un cubo cuyas caras son normales a las direcciones principales. Las tensiones σ I , σ II y σ III son tensiones normales a las caras de este cubo; las tensiones tangenciales son cero.
Ahora considere el octaedro cuyos vértices son los centros de las caras del cubo. Para cada rostro, tenemos:
Estas restricciones se denominan restricciones octaédricas .
Las tensiones normal y tangencial en las ocho caras del octágono son idénticas y valen:
; .Tenga en cuenta que en comparación con la presión isostática P y la tensión de von Mises equivalente σ e , tenemos:
; .El término "tensión normal octaédrica" se utiliza a veces como sinónimo de "presión isostática".
La tensión normal octaédrica σ oct tiende a variar el volumen del octaedro sin deformarlo (sin variar los ángulos). Por el contrario, la cisión octaédrica tiende a distorsionar el octaedro sin variar su volumen; por lo tanto, lógicamente encontramos una relación con la restricción de von Mises.
En el caso de la tensión uniaxial, dos de las tensiones principales son cero. Elegimos por convención σ I ≠ 0; x I es el eje de tensión, tenemos | σ I | = F / S (la tensión nominal), σ II = σ III = 0. El tensor de las tensiones principales se escribe así
En el caso de la compresión unixial, tenemos σ I <0, por lo tanto σ I <σ II y σ I <σ III contrariamente a la convención inicial. Tenemos en todos los casos τ max = ½ | σ I |.
En el caso de tensiones planas, una de las tensiones principales es nula. Elegimos arbitrariamente σ III = 0; entonces podemos tener σ II <0 por lo tanto σ II <σ III , contrario a la convención anterior. En todos los casos, tenemos τ max = ½ | σ I - σ II |.
El tensor de las tensiones principales se escribe así
En el caso de una presión isostática P, tenemos σ I = σ II = σ III = P. El tensor de las tensiones principales se escribe
y τ max = 0.
En esta base de datos, las leyes se expresan de forma más sencilla. En particular, las tensiones principales permiten establecer el criterio de plasticidad o de ruina , por ejemplo, considerando la máxima cission ( criterio de Tresca ). El conocimiento de las principales direcciones permite