Condición de Hölder

En análisis , la continuidad de Hölderian o condición de Hölder , que lleva el nombre del matemático alemán Otto Hölder , es una condición suficiente , generalizando la de Lipschitz , para que un mapa definido entre dos espacios métricos sea uniformemente continuo . Por tanto, la definición se aplica en particular a las funciones de una variable real .

Si $( X , d X )$ e $( Y , d Y )$ son dos espacios métricos, se dice que una función $f : X \to Y$ es $una$ -Hölderiana si existe una constante $C$ tal que para todo $x , y \in X$ :

{\ Displaystyle d_ {Y} \ left (f (x), f (y) \ right) \ leq Cd_ {X} (x, y) ^ {a}.}

Por tanto, la continuidad helderiana de una función depende de un parámetro $a \in] 0, 1]$ .

Las asignaciones 1-Hölderian son las asignaciones Lipschitzian .
Para $un \in] 0, 1]$ fija, el conjunto de $un$ -Hölderian reales funciones delimitadas en $X$ es un espacio vectorial , comúnmente denotado por C 0, una ( X ), especialmente importante en el análisis funcional .

Una función real de una variable real también puede ser solo localmente $a$ -Höldérien (en ciertos intervalos en su dominio de definición , el valor del parámetro $a$ determina el ancho máximo de estos intervalos).

Ejemplos de

Función de potencia

La función de raíz cuadrada es $1 / 2$ -Höldérienne en ℝ + .

De manera más general, para $0 < a \leq 1$ , la función de potencia $x \mapsto x a$ es $un$ -Hölderiano en ℝ + . Sin embargo, no es $b$ -hölderian sobre ℝ + para cualquier $b \neq a$ .

Logaritmo

La función está definida y continua en ℝ + , y se extiende por continuidad en 0 por el valor 0. ${\ Displaystyle h: x \ mapsto x \ ln x}$

Esta función está involucrada en las definiciones matemáticas de entropía (lea, por ejemplo, entropía de Shannon o entropía de Kolmogorov ).

En el segmento [0, 1], la función $h$ es $una$ -Hölderian para todo $a \in] 0, 1 [$ pero no para $a = 1$ .

Curva de Peano

La curva de Peano es un mapa de sobreyección continuo de [0, 1] a [0, 1] 2 . Ella es $1 / 2$ -Höldérienne.

Pero no existe ningún mapa continuo sobreyectivo de [0, 1] en [0, 1] 2 que sea

un

-Hölderiano para

a > 1/2

. El argumento, que se presenta a continuación, se basa en la noción de dimensión .

movimiento browniano

El movimiento browniano es un acto aleatorio de funciones continuas . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ flecha derecha \ mathbb {R}}$

Es casi seguro que una trayectoria de movimiento browniano es localmente $un$ -Hölderiano para $un <1/2,$ pero no es 1 ⁄ 2 -Hölderiano.

El estudio del movimiento browniano ha dado un nuevo interés a la condición de Hölder.

Propiedades

Toda la aplicación de Hölderian es uniformemente continua .
Una función en un conjunto abierto de un n con valores en ℝ m que es Lipschitziano es casi en todas partes diferenciable : este es el teorema de Rademacher .
Por el contrario, para a <1, hay ejemplos de funciones a -Hölderianas y no diferenciables en ninguna parte, como la función de van der Waerden-Takagi o la función de Weierstrass . Estos últimos se definen como sumas de series de funciones .
Si el espacio métrico ( X , d ) es de finito diámetro , entonces cualquier un mapa -Hölderian en X está limitada.

Regularidad de Sobolev

En esta sección, $I$ denotar un intervalo abierto de ℝ.

Una función admite una derivada débil si existe una función localmente integrable $g$ tal que para cualquier función continuamente diferenciable con soporte compacto en y con valores en , $f: yo \ a \ mathbb {R}$ $\ varphi$ $I$ $\ mathbb {R}$

{\ Displaystyle \ int _ {I} f \ varphi '= - \ int _ {I} g \ varphi.}

Cuando $f$ y $g$ son de clase $L p$ , se dice que la función $f$ es de clase $W 1, p$ .

Para $1 < p <\infty$ , cualquier función de clase $W 1, p$ es continua e incluso $a$ - Hölderiana para $a = 1 - 1 / p$ .

Aquí es necesaria una aclaración. Estrictamente hablando, $L p$ es un espacio de clases de función definido casi en todas partes. Sin embargo, cada clase contiene como máximo una función continua. Por lo tanto, tiene sentido, para un elemento de $L p$ , decir que es (o no) continuo. El resultado anterior es un caso particular de desigualdades de Sobolev (en) .

Demostración

La función es integrable localmente; nosotros posamos $gramo$

h (x) = f (x) - \ int _ {y} ^ {x} g (t) ~ {\ mathrm d} t.

Para cualquier función continuamente diferenciable φ con soporte compacto, tenemos:

\ int _ {I} h (t) \ varphi '(t) ~ {\ mathrm d} t = - \ int _ {I} g (t) \ varphi (t) ~ {\ mathrm d} t- \ int _ {{y \ leq x}} g (y) \ varphi '(x) ~ {\ mathrm d} y = 0.

En consecuencia, la función es constante y sigue: $h$

f (y) -f (x) = \ int _ {x} ^ {y} g (t) ~ {\ mathrm d} t.

Por la desigualdad de Hölder ,

{\ Displaystyle \ left | f (y) -f (x) \ right | \ leq \ left \ | g \ right \ | _ {\ mathrm {L} ^ {p}} \ left | yx \ right | ^ { 1-1 / p}.}

En el parámetro a

En la definición anterior, el parámetro a se ha establecido en el rango] 0,1]. Algunas observaciones son necesarias en la elección del parámetro de una y su importancia.

El parámetro a está limitado a valores menores o iguales a 1 debido al siguiente fenómeno para valores más altos: una función de una variable real que satisface la condición de Hölder para a > 1 es localmente constante (por lo tanto, constante en cualquier intervalo incluido en su dominio de definición).
El rango de valores del parámetro de $un \in] 0, 1]$ para el que f es un -Hölderian es un sub- intervalo (no necesariamente cerrada, pero que también puede ser trivial ) de] 0,1]; en otras palabras, es un subconjunto convexo :

si 0 < a < b ≤ 1 y si f es tanto a -hölderiano como b -hölderiano, entonces es c -hölderiano para todo

c \in [ a , b ]

Algunos autores incluyen en la definición el valor a = 0. Las funciones 0-Hölderianas son entonces simplemente funciones acotadas, y la propiedad precedente se extiende naturalmente: si f es b -Hölderiana y acotada, entonces es c -Hölderiana para todo $c \in [0, b ]$ .

Dimensión y funciones a -höldériennes

La dimensión de Hausdorff es una buena definición de la dimensión de un espacio métrico. En cualquier caso, amplía la definición de la dimensión de los espacios vectoriales que se encuentran en el álgebra lineal .

-Las funciones holderianas disminuyen la dimensión de Hausdorff módulo a factor : $a\,$ $1 / a \,$

Si es un mapa -Hölderiano de un espacio métrico en un espacio métrico , entonces

f \,

a\,

(X, d) \,

(Y, d ') \,

\ dim _ {H} {f (X)} \ leq {\ frac 1a} \ dim _ {H} {X} \,

Solicitud :

Un mapa continuo sobreyectivo no puede ser -Hölderiano para . De hecho, la dimensión de un cuadrado [0, 1] 2 es 2 y no es menor que para .

[0,1] \ rightarrow [0,1] ^ {2} \,

a\,

a> 1/2 \,

1 / a \,

a> 1/2 \,

Sin embargo, Giuseppe Peano dio un ejemplo de una aplicación continua sobreyectiva

1 / 2

-Höldérienne.

Espacios C 0, a

El espacio ℝ-vector C 0, una ( X ) de reales $unas$ funciones -Hölderian delimitadas en un espacio métrico ( X , d ) es completa para la norma definida por

{\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in X} | f (x) | + \ sup _ {x \ neq y} {\ frac {| f (x) -f (y) |} {d (x, y) ^ {a}}}.}

Demostración

El espacio vectorial B ( X × X , ℝ) de funciones acotadas de X × X a ℝ, dotado de la norma sup, es completo porque ℝ lo es . O C 0, a ( X ), provisto de la norma

{\ Displaystyle \ | f \ | = \ max \ left (\ sup _ {x \ in X} | f (x) |, \ sup _ {x \ neq y} {\ frac {| f (x) -f (y) |} {d (x, y) ^ {a}}} \ right)}

( equivalente al anunciado), se identifica naturalmente con un cerrado de este completo: la intersección, indexada por los pares ( x , y ) de dos elementos distintos de X , cerrados

{\ Displaystyle F_ {x, y}: = \ left \ {G \ in B (X \ times X, \ mathbb {R}) ~ \ left | ~ G (x, y) = {G (x, x) -G (y, y) \ over d (x, y) ^ {a}} \ right. \ Right \}.}

Notas y referencias

(en) Rainer Kress, Ecuaciones integrales lineales , Springer ,2013, 3 e ed. ( leer en línea ) , pág. 104.
Para una demostración, vea, por ejemplo, esta sección de la lección "Topología general" en Wikiversity .
(en) Jean-Charles Pinoli, Fundamentos matemáticos del procesamiento y análisis de imágenes , John Wiley & Sons ,2014( leer en línea ) , pág. 87.