Tensor de deformación
El tensor de deformación es un tensor simétrico de orden 2 que sirve para describir el estado de deformación local resultante de las tensiones .
El estado de deformación de un sólido se describe mediante un campo tensorial , es decir que el tensor de las deformaciones se define en cualquier punto del sólido. Se habla de este hecho de campo de deformación .
En el marco de la elasticidad lineal, el tensor de las deformaciones está conectado al tensor de las tensiones por la ley de Hooke generalizada .
Definición del operador de deformación
El tensor de deformación tiene como objetivo caracterizar en un punto la variación de longitud de un segmento a raíz de la transformación sufrida por el medio. La deformación del medio puede describirse mediante la función (que se supone suficientemente regular) que, en un punto A del medio, asocia su transformada A ':
OA′→=Φ(A,t){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = \ Phi (A, t)}Considere un segmento AB que se convierte en A '
B '. El tensor de deformación permite cuantificar . De hecho tenemos:
‖A′B′→‖2-‖AB→‖2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {A'B '}} \ | ^ {2} - \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | ^ {2}}
OA′→=Φ(A,t){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = \ Phi (A, t)}Por tanto, podemos escribir:
OB′→=OA′→+F⋅AB→+o(‖AB→‖){\ displaystyle {\ overrightarrow {OB '}} = {\ overrightarrow {OA'}} + F \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + o (\ | {\ overrightarrow {AB}} \ |)}o
F=gramoraD(Φ)=∂Φ∂A{\ Displaystyle F = {\ rm {grad}} (\ Phi) = {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial A}}}es el gradiente de la transformación . De donde :
Φ{\ Displaystyle \ Phi}
A′B′→=F⋅AB→+o(‖AB→‖){\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}} = F \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + o (\ | {\ overrightarrow {AB}} \ |)}Por tanto, obtenemos, en primer orden:
‖A′B′→‖2-‖AB→‖2=AB→T(FT⋅F-ID)AB→{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {A'B '}} \ | ^ {2} - \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | ^ {2} = {\ overrightarrow {AB}} ^ {T} \ izquierda (F ^ {T} \ cdot F - {\ rm {Id}} \ right) {\ overrightarrow {AB}}}Le pedimos:
mi=12(FT⋅F-ID){\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ left (F ^ {T} \ cdot F - {\ rm {Id}} \ right)}mi{\ Displaystyle E}es el operador de las cepas de Green -Lagrange. Se trata de un tensor simétrico real, por tanto diagonalizable de forma ortonormal . Las direcciones propias se denominan direcciones principales de deformación.
Si introducimos el vector de desplazamiento
tu(A,t)=AA′→=Φ(A,t)-OA→{\ displaystyle u (A, t) = {\ overrightarrow {AA '}} = \ Phi (A, t) - {\ overrightarrow {OA}}}obtenemos :
F=ID+∂tu∂A{\ Displaystyle F = {\ rm {Id}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}}}observando la derivada parcial de
y por lo tanto:
∂tu∂A{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}}}tu{\ Displaystyle u}
mi=12(∂tu∂A+∂tu∂AT+∂tu∂AT⋅∂tu∂A){\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}} ^ {T } + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}} ^ {T} \ cdot {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}} \ derecha)}
Caso de pequeñas deformaciones.
Tensor de deformaciones linealizadas
Si se asume que las deformaciones son pequeñas, se ignoran los términos del segundo orden y se obtiene el tensor de las deformaciones linealizadas:
ε=12(∂tu∂A+∂tu∂AT){\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}} ^ { T} \ right)}En forma de componentes en base ortonormal:
εIj=12(∂tuI∂Xj+∂tuj∂XI){\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {1 \ over 2} \ left ({\ parcial u_ {i} \ over \ parcial x_ {j}} + {\ parcial u_ {j} \ over \ parcial x_ {i }} \ derecho)}
Interpretación de términos diagonales
Los términos diagonales son los alargamientos relativos en la dirección i (a lo largo del eje x i ). Tomemos el caso de un segmento [ AB ], paralelo al eje x 1 , y nos interesa la parte de la deformación también paralela ax 1 , que denotaremos [ A'B ' ].
εII{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ii}}
El alargamiento relativo vale (expresado en distancias algebraicas):
A′B′¯-AB¯AB¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'B '}} - {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}}}Sabiendo que
AA′¯=tu1(A){\ Displaystyle {\ overline {AA '}} = u_ {1} (A)} y
BB′¯=tu1(B){\ Displaystyle {\ overline {BB '}} = u_ {1} (B)}
donde es la componente de a lo largo del eje x 1 , este alargamiento vale:
tu1{\ Displaystyle u_ {1}}tu{\ Displaystyle u}
A′A¯+AB¯+BB′¯AB¯-1=tu1(B)-tu1(A)+AB¯AB¯-1=tu1(B)-tu1(A)AB¯{\ Displaystyle {\ frac {{\ overline {A'A}} + {\ overline {AB}} + {\ overline {BB '}}} {\ overline {AB}}} - 1 = {\ frac {u_ {1} (B) -u_ {1} (A) + {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}} - 1 = {\ frac {u_ {1} (B) -u_ {1} (A)} {\ overline {AB}}}}Reconocemos una tasa de aumento de la función , y si nos colocamos en pequeñas deformaciones, podemos reemplazar esta tasa de aumento por la derivada de , que da:
tu1{\ Displaystyle u_ {1}}tu1{\ Displaystyle u_ {1}}
A′B′¯-AB¯AB¯≃∂tu1∂X1=ε11{\ Displaystyle {\ frac {{\ overline {A'B '}} - {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}} \ simeq {\ frac {\ parcial u_ {1}} {\ parcial x_ {1}}} = \ varepsilon _ {11}}Más generalmente :
εII=∂tuI∂XI=12(∂tuI∂XI+∂tuI∂XI){\ Displaystyle \ varepsilon _ {ii} = {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {i}}} + {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha)}Coeficientes por cizallamiento
Los otros términos ( i ≠ j ) son las medias variaciones del ángulo recto de un pequeño volumen de materia cúbica antes de la deformación.
εIj{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij}}γ{\ Displaystyle \ gamma}
De hecho, un cuadrado ABCD , donde [ AB ] es paralelo ax 1 y [ AD ] es paralelo ax 2 , se convierte en un rombo AB'C'D ' , simétrico según la primera bisectriz del plano.
La tangente del ángulo es:
γ{\ Displaystyle \ gamma}
broncearse(γ)=BB′¯AB¯{\ Displaystyle \ tan (\ gamma) = {\ frac {\ overline {BB '}} {\ overline {AB}}}}.
Para pequeñas deformaciones, tenemos
broncearse(γ)≃γ{\ Displaystyle \ tan (\ gamma) \ simeq \ gamma}así como
BB′¯=tu2(B)≃tu2(A)+∂tu2∂X1⋅AB¯{\ Displaystyle {\ overline {BB '}} = u_ {2} (B) \ simeq u_ {2} (A) + {\ frac {\ parcial u_ {2}} {\ parcial x_ {1}}} \ cdot {\ overline {AB}}}con u 2 ( A ) = 0. Por lo tanto,
γ≃∂tu2∂X1{\ Displaystyle \ gamma \ simeq {\ frac {\ parcial u_ {2}} {\ parcial x_ {1}}}}Si ahora consideramos el segmento [ AD ]:
γ≃∂tu1∂X2{\ Displaystyle \ gamma \ simeq {\ frac {\ parcial u_ {1}} {\ parcial x_ {2}}}}No siendo una rotación una deformación, podemos suponer que los dos ángulos son iguales, incluso si eso significa rotar el rombo y por lo tanto
γ{\ Displaystyle \ gamma}
γ=12(∂tu1∂X2+∂tu2∂X1)=ε12{\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ u_ parcial {1}} {\ x parcial_ {2}}} + {\ frac {\ u_ parcial {2} } {\ parcial x_ {1}}} \ derecha) = \ varepsilon _ {12}}Nota : en el artículo Deformación elástica , el ángulo definido es igual al doble del ángulo definido aquí.
γ{\ Displaystyle \ gamma}
Cambio relativo de volumen
Considere un prisma elemental generado por tres vectores . Su transformación por es el prisma generado por .
(mi10,mi20,mi30){\ Displaystyle (e_ {10}, e_ {20}, e_ {30})}Φ{\ Displaystyle \ Phi}(mi1,mi2,mi3){\ Displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}
Sea V 0 el prisma inicial y V el volumen de la transformada.
Tenemos, en primer orden:
V=(mi1∧mi2)⋅mi3=(F(mi10)∧F(mi20))⋅F(mi30)=det(F)(mi10∧mi20)⋅mi30=det(F)V0{\ Displaystyle V = (e_ {1} \ wedge e_ {2}) \ cdot e_ {3} = (F (e_ {10}) \ wedge F (e_ {20})) \ cdot F (e_ {30} ) = \ det (F) (e_ {10} \ wedge e_ {20}) \ cdot e_ {30} = \ det (F) V_ {0}}El cambio relativo de volumen es V-V0V0=ΔVV0=det(F)-1{\ displaystyle {\ frac {V-V_ {0}} {V_ {0}}} = {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} = \ det (F) -1}
En el caso de pequeñas deformaciones, y det (F) - 1 es igual al primer orden a la traza de , que es igual a la traza del tensor :F=ID+∂tu∂A{\ Displaystyle F = {\ rm {Id}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}}}∂tu∂A{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial A}}}ε{\ Displaystyle \ varepsilon}ε11+ε22+ε33{\ Displaystyle \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33}}
Uno puede encontrar este resultado colocándose en la base de las principales direcciones de deformación. Considere un cubo con arista a . Después de la deformación tenemos un cuasi-paralelepípedo de volumen:
V=a⋅(1+ε11)×a⋅(1+ε22)×a⋅(1+ε33){\ Displaystyle V = a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {11}) \ times a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {22}) \ times a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {33})}entonces que :
V0=a3{\ Displaystyle V_ {0} = a ^ {3}}Que dan:
ΔVV0=(1+ε11+ε22+ε33+ε11⋅ε22+ε11⋅ε33+ε22⋅ε33+ε11⋅ε22⋅ε33)⋅a3-a3a3{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} = {\ frac {\ left (1+ \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {22} \ cdot \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {22} \ cdot \ varepsilon _ {33} \ right) \ cdot a ^ {3} -a ^ {3}} {a ^ {3}}}}ya que estamos en una deformación muy débil,
1 >> ε ii >> ε ii ε jj >> ε 11 ε 22 ε 33
de ahí el resultado.
Decimos que hay cizallamiento puro cuando la traza es cero, es decir, cuando no hay variación de volumen.
Se dice que una deformación es incompresible si se produce sin variación de volumen en cualquier punto del cuerpo. En particular, las deformaciones plásticas se realizan sin variación de volumen.
Deformaciones principales
Existe una base ortonormal tal que el tensor de tensión es una matriz diagonal (ver Matriz simétrica> Descomposición espectral ):
(X→I,X→II,X→III){\ Displaystyle ({\ vec {x}} _ {\ mathrm {I}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {II}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {III} })}
mi=(εI000εII000εIII){\ displaystyle \ mathrm {E} = {\ begin {pmatrix} \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} & 0 & 0 \\ 0 & \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} & 0 \\ 0 & 0 & \ varepsilon _ {\ mathrm {III}} \\\ end {pmatrix}}}.
Las direcciones se denominan direcciones principales y las deformaciones ε I , ε II y ε III son las deformaciones principales .
(X→I,X→II,X→III){\ Displaystyle ({\ vec {x}} _ {\ mathrm {I}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {II}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {III} })}
Las principales cepas son los valores propios del tensor y las direcciones propias, sus vectores propios . Los autovalores λ verifican la ecuación
Dmit(mi-λI)=0{\ Displaystyle \ mathrm {det} (E- \ lambda I) = 0}donde yo es la matriz de identidad; las deformaciones principales son, por tanto, las soluciones en λ de esta ecuación.
Recuerde que la traza es invariante por cambio de base (ver Matrices similares ), por lo tanto
ε11+ε22+ε33=εI+εII+εIII{\ Displaystyle \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} = \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ varepsilon _ { \ mathrm {III}}}y así en pequeñas deformaciones, la variación relativa de volumen vale
ΔVV0=εI+εII+εIII{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta \ mathrm {V}} {\ mathrm {V} _ {0}}} = \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {III}}}Contrariamente a las tensiones principales , el concepto de deformación principal se utiliza poco para el cálculo. Por otro lado, permite expresar la energía elástica de forma sencilla , y es útil para analizar los resultados de la extensometría . Además, las direcciones principales son las mismas para el tensor de las deformaciones y para el tensor de las tensiones.
Invariantes del tensor de deformación
Definimos tres invariantes del tensor, es decir, tres valores que son independientes de la base:
- I1=Tr(mi)=ε11+ε22+ε33=∑IεII{\ Displaystyle I_ {1} = \ mathrm {Tr} (\ mathrm {E}) = \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} = \ sum _ {i} \ varepsilon _ {ii}}
ya sea con la convención de suma de Einstein :
;
I1=εII{\ Displaystyle I_ {1} = \ varepsilon _ {ii}}
- I2=ε11ε22+ε22ε33+ε33ε11-ε122-ε232-ε312=12∑I∑j(εIIεjj-εIjεIj){\ Displaystyle I_ {2} = \ varepsilon _ {11} \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {22} \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {33} \ varepsilon _ {11} - \ varepsilon _ {12} ^ {2} - \ varepsilon _ {23} ^ {2} - \ varepsilon _ {31} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} \ sum _ { j} (\ varepsilon _ {ii} \ varepsilon _ {jj} - \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}
o de nuevo
;
I2=12(εIIεjj-εIjεIj){\ Displaystyle I_ {2} = {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {ii} \ varepsilon _ {jj} - \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}
- I3=Dmit(mi){\ Displaystyle I_ {3} = \ mathrm {det} (\ mathrm {E})}
o
donde e ijk es el símbolo de Levi-Civita (o símbolo de Ricci). Con las principales deformaciones, se convierte en:
I3=miIjkε1Iε2jε3k{\ Displaystyle I_ {3} = e_ {ijk} \ varepsilon _ {1i} \ varepsilon _ {2j} \ varepsilon _ {3k}}
-
I1=εI+εII+εIII{\ Displaystyle I_ {1} = \ varepsilon _ {I} + \ varepsilon _ {II} + \ varepsilon _ {III}} ;
-
I2=εIεII+εIIεIII+εIIIεI{\ Displaystyle I_ {2} = \ varepsilon _ {I} \ varepsilon _ {II} + \ varepsilon _ {II} \ varepsilon _ {III} + \ varepsilon _ {III} \ varepsilon _ {I}} ;
-
I3=εIεIIεIII{\ Displaystyle I_ {3} = \ varepsilon _ {I} \ varepsilon _ {II} \ varepsilon _ {III}}.
Tensor y desviador isotrópico
Se puede expresar el tensor de las deformaciones en forma de tensor isotrópico E 'y de desviador E' ':
mi=mi′+mi″{\ Displaystyle \ mathrm {E} = \ mathrm {E} '+ \ mathrm {E}' '}con el tensor isotrópico, también llamado parte esférica
mi′=13tr(mi)I{\ Displaystyle \ mathrm {E} '= {\ frac {1} {3}} \ mathrm {tr} (\ mathrm {E}) \ mathrm {I}}donde I es la matriz unitaria y el desviador de deformación
mi″=Dmiv(mi)=mi-mi′{\ Displaystyle \ mathrm {E} '' = \ mathrm {dev} (\ mathrm {E}) = \ mathrm {E} - \ mathrm {E} '}.
Tenemos, usando la convención de suma de Einstein :
-
εIj′=13(∑kεkk)δIj=13εkkδIj{\ Displaystyle \ varepsilon '_ {ij} = {\ frac {1} {3}} \ left (\ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \ right) \ delta _ {ij} = {\ frac { 1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij}} ;
-
εIj″=εIj-13(∑kεkk)δIj=εIj-13εkkδIj{\ Displaystyle \ varepsilon '' _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ left (\ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \ right) \ delta _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij}} ;
donde δ ij es el símbolo de Kronecker .
Esta descomposición simplifica la expresión de las energías de deformación elástica de cambio de volumen y distorsión.
Ver también
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