Personaje de Dirichlet

En matemáticas , y más precisamente en aritmética modular , un carácter de Dirichlet es una función particular en un conjunto de clases de congruencia en números enteros y con valores complejos .

Dirichlet lo utilizó para demostrar su teorema de progresión aritmética .

Definiciones

En este artículo, n denota un número entero estrictamente positivo y U el grupo de unidades (ℤ / n ℤ) × del anillo ℤ / n ℤ . En el campo ℂ de números complejos , el conjugado de un número c se denota por c .

Hay dos definiciones de un personaje de Dirichlet:

Un carácter de Dirichlet módulo n es un carácter del grupo finito (ℤ / n ℤ) × , es decir, un morfismo de grupos de (ℤ / n ℤ) × en el grupo multiplicativo ℂ * de complejos distintos de cero.

En la segunda definición, un carácter de Dirichlet es un tipo particular de función aritmética , es decir, la aplicación del conjunto ℕ * de enteros estrictamente positivos en ℂ:

Un carácter de Dirichlet módulo n es una función aritmética que es:
- completamente multiplicativo ;
- n - periódico ;
- cero en enteros no primos con n .

Los caracteres χ de la primera definición están en biyección con los caracteres χ 'de la segunda: si la clase en ℤ / n ℤ de un entero d pertenece a U entonces χ' ( d ) es la imagen de χ de esta clase y en caso contrario , χ '( d ) = 0.

Si d es un divisor de n , cualquier carácter de Dirichlet módulo d puede verse como un carácter de Dirichlet módulo n , por composición con la proyección (ℤ / n ℤ) × → (ℤ / d ℤ) × .

Decimos que un carácter de Dirichlet módulo n es primitivo si no proviene de un carácter de Dirichlet módulo un divisor estricto de n ; en este caso, n se denomina conductor del personaje. Este es el caso en particular si su kernel es trivial , pero lo contrario es falso: hay, por ejemplo, un carácter primitivo para n = 12 de kernel no trivial.
El carácter de Dirichlet igual a 1 en los enteros primos con ny 0 en cualquier otro lugar se denomina carácter principal (o carácter conductor 1) módulo n .
Se dice que el carácter principal de Dirichlet módulo 1 (igual a 1 en todos los números enteros) es trivial .

Propiedades

Propiedades elementales

El conjunto Û de caracteres de módulo n forma un grupo abeliano finito isomorfo a U. En particular:

Los valores distintos de cero del carácter son raíces φ ( n ) -ésima unidad . De hecho, el orden de U es φ ( n ), donde φ denota la indicatriz de Euler .
El producto de dos caracteres es un carácter.
El conjugado de un carácter es su carácter inverso para la multiplicación. En otras palabras (para cualquier carácter y cualquier elemento de U ): la imagen del inverso es el conjugado de la imagen.
Los caracteres de Dirichlet forman una base ortonormal de ℂ - espacio vectorial ℂ U de funciones de U en ℂ, para el producto hermitiano <,> definido por: ${\ Displaystyle \ forall f, g \ in \ mathbb {C} ^ {U} \ quad \ langle f, g \ rangle = {\ frac {1} {\ varphi (n)}} \ sum _ {x \ in U} {\ overline {f (x)}} g (x).}$

Análisis armónico

La transformada de Fourier de una función $f$ de ℂ U es la función de Û en ℂ definida por: ${\ Displaystyle {\ widehat {f}}}$

{\ Displaystyle \ forall \ chi \ in {\ widehat {U}} \ quad {\ widehat {f}} (\ chi) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ sum _ {x \ in U} f (x) {\ overline {\ chi (x)}}.}

El teorema de Plancherel expresa la siguiente igualdad:

{\ Displaystyle \ forall f \ in \ mathbb {C} ^ {U} \ quad f = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {U}}} {\ widehat {f}} (\ chi) \ chi.}

Símbolo de Legendre

Los caracteres de valor real son los morfismos de U en {–1, 1} (las únicas raíces reales de la unidad). El personaje principal es el morfismo trivial. Los caracteres no principales con valores reales son los elementos de orden 2 del grupo Û , isomorfos a U. Existen tan pronto como el orden del grupo es par, por lo tanto tan pronto como n > 2 según la siguiente proposición .

Si n es estrictamente mayor que 2, entonces U es de orden par.
De hecho, si n es divisible por un número primo p > 2 entonces φ ( n ) es divisible por el número par p - 1, y de lo contrario, n es igual a 2 r donde r es un número entero estrictamente mayor que 1 y φ ( n ) es igual a 2 r - 1 .

La siguiente proposición generaliza la construcción del símbolo de Legendre , que corresponde al caso particular donde n es primo e impar.

Si n es una potencia de un número primo impar, entonces hay un solo carácter no principal de valor real.
De hecho, en este caso, U (por lo tanto también Û ) no solo es de orden par sino cíclico (cf. § “Caso donde n no es primo” del artículo “Ring ℤ / n ℤ” ) por lo tanto tiene un solo elemento de orden 2.

Teorema de progresión aritmética

Serie L de Dirichlet

La serie L de Dirichlet son generalizaciones directas de la función zeta de Riemann y parecen ser preeminentes en la hipótesis de Riemann generalizada .

La serie L de Dirichlet de un carácter , denotada, se define, para cualquier número complejo de parte real > 1, por la serie absolutamente convergente: ${\ Displaystyle \ chi \ in {\ widehat {U}}}$ ${\ Displaystyle L (s, \ chi)}$ $s$

{\ Displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {como}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad L (s, \ chi): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}}}

. Ejemplo Si es el carácter principal del módulo 3 que se muestra arriba, entonces .

\ chi

{\ Displaystyle L (s, \ chi) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {0} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} { 4 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {0} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s} }} + \ puntos}

Por extensión analítica , la función L puede extenderse a una función meromórfica en el plano complejo .

Producto euleriano

Siendo la función χ completamente multiplicativa , un cálculo similar al realizado por Euler para la función zeta permite transformar la serie L en un producto infinito indexado por el conjunto de números primos. Tal producto lleva el nombre de "producto euleriano". ${\ mathcal {P}}$

{\ Displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {como}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad L (s, \ chi) = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s} \ chi (p)}}}

Como el de Euler, este producto infinito es absolutamente convergente, por lo que la siguiente serie también es convergente y proporciona, en cuanto a la función ζ, que corresponde a χ = 1 , una rama de su logaritmo complejo , c ', es decir, una función holomórfica en la mitad -plano Re (s)> 1, anotado , tal que : ${\ Displaystyle \ log L}$ ${\ Displaystyle \ exp (\ log L (s, \ chi)) = L (s, \ chi)}$

{\ Displaystyle \ log L (s, \ chi) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ izquierda (p ^ {- s} \ chi (p) \ right) ^ {k}} {k}} = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ chi (p ^ {k})} {kp ^ {ks}}}}

Solicitud

El objetivo inicial de los caracteres de Dirichlet es contar los números primos en una clase m de U , lo que equivale a demostrar el teorema de la progresión aritmética .

Definimos una función ω a partir de S × U en ℂ, donde S denota el semiplano complejo de números cuya parte real es estrictamente mayor que 1:

{\ Displaystyle \ forall u \ in U \ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {como}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad \ omega (s, u) = {\ frac {1} {\ varphi (n)}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {U}}} {\ overline {\ chi (u) }} \; \ log L (s, \ chi)}

El teorema de Plancherel ( ver arriba ) permite expresarse de otra forma, gracias a lo cual el valor en ( s , m ) proporciona suficiente información para concluir:

{\ Displaystyle \ forall u \ in U \ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} \; \; \; {\ text {como}} \; \; \; \ mathrm {Re} (s)> 1 \ qquad \ omega (s, u) = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ quad \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {y} } p ^ {k} \ in u} {\ frac {1} {kp ^ {ks}}}.}

Demostración

Fije , denote la serie (absolutamente convergente) de la derecha y calcule la transformada de Fourier de . $s$ $h (u)$ $h$

{\ Displaystyle {\ sqrt {\ varphi (n)}} \, {\ widehat {h}} (\ chi) = \ sum _ {u \ in U} h (u) {\ overline {\ chi (u) }} = \ sum _ {u \ in U} \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {y}} p ^ {k} \ in u} {\ frac {\ overline {\ chi (u)}} {kp ^ {ks}}} = \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {\ overline {\ chi (p ^ {k})}} {kp ^ {ks}}} = \ log L (s, {\ overline {\ chi}})}

De acuerdo con la fórmula de Plancherel, es por tanto igual a la transformada de Fourier (definida como anteriormente pero invirtiendo U y Û ) de la función , es decir a . $h$ ${\ Displaystyle \ chi \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {\ varphi (n)}}} \ log L (s, \ chi)}$ ${\ Displaystyle u \ mapsto \ omega (s, u)}$

Historia

Los caracteres de Dirichlet y su serie L fueron introducidos por Dirichlet , en 1831 , para probar su teorema sobre la infinidad de números primos en progresiones aritméticas. Bernhard Riemann logró la extensión a las funciones holomórficas .

Notas y referencias

G. Lejeune Dirichlet , " Investigación de diversas aplicaciones del análisis infinitesimal a la teoría de los números ", J. Reine angew. Matemáticas. , vol. 19 y 21, 1839 y 1840
Pierre Colmez , Elementos de análisis y álgebra (y teoría de números) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 p. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , leer en línea ).
Nicole Berline y Claude Sabbah , La función zeta , Éditions École Polytechnique,2003, 193 p. ( ISBN 978-2-7302-1011-9 , leer en línea ).
Colmez 2009 , p. 290.
Berline y Sabbah 2003 , p. 53.