Unión Hopf

En la teoría de la bifurcación , una bifurcación de Hopf o Poincaré-Andronov-Hopf , que lleva el nombre de Henri Poincaré , Eberhard Hopf y Aleksandr Andronov , es una bifurcación local en la que un punto fijo de un sistema dinámico pierde su estabilidad mientras que 'un par de valores propios complejos conjugados de linealización alrededor del punto fijo cruzan el eje imaginario del plano complejo .

Para obtener una descripción más general de las bifurcaciones de Hopf y sus aplicaciones, en particular en física y electrónica, consulte.

Definición

Bifurcación de Hopf supercrítica / subcrítica

El ciclo orbital (oscilante) es estable si la cantidad específica llamada el primer exponente de Lyapunov es negativa (es decir, cualquier pequeña desviación aplicada a un punto en el ciclo límite disminuye exponencialmente al primer orden), y se dice que la bifurcación de Hopf es super- crítico. De lo contrario (primer exponente de Lyapunov positivo o cero), el ciclo límite es inestable y se dice que la bifurcación es subcrítica.

La forma canónica de una bifurcación de Hopf es:

{\ Displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}

Donde z , b son complejos y λ es un parámetro. Vamos a posar

{\ Displaystyle b = \ alpha + i \ beta. \,}

El número α se llama el primer exponente de Lyapunov.

Si α es negativo, existe un ciclo límite estable para λ > 0:

{\ Displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {y}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}

Entonces se dice que la bifurcación es supercrítica.

Si α es positivo, entonces el ciclo límite es inestable para λ <0. Se dice que la bifurcación es subcrítica .

Observaciones

La "reacción química más pequeña que presenta una bifurcación de Hopf" se observó en 1995 en Berlín, Alemania. El mismo sistema bioquímico se ha utilizado para estudiar cómo una bifurcación de Hopf puede informarnos sobre la dinámica subyacente de un sistema.

Referencias

(en) Steven H. Strogatz , Dinámica no lineal y caos , editorial Addison Wesley,1994
(en) Yuri A. Kuznetsov , Elementos de la teoría aplicada de la bifurcación , Nueva York, Springer-Verlag,2004, 634 p. ( ISBN 0-387-21906-4 , presentación en línea )
(en) J. Hale y H. Koçak , Dynamics and bifurcations , vol. 3, Nueva York, Springer-Verlag, coll. "Textos en Matemática Aplicada",1991
J. Guckenheimer , M. Myers y B. Sturmfels , " Computación de las bifurcaciones de Hopf I ", SIAM Journal on Numerical Analysis ,1997
(en) E. Hairer , SP Norsett y G. Wanner , Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos , Nueva York, Springer-Verlag,1993, Segunda ed.
T. Wilhelm y R. Heinrich , “El sistema de reacción química más pequeño con bifurcación de Hopf ”, Journal of Mathematical Chemistry , vol. 17, n o 1,1995, p. 1-14 ( DOI 10.1007 / BF01165134 , leer en línea )
PDW Kirk , T. Toni y MP Stumpf , “ Inferencia de parámetros para sistemas bioquímicos que experimentan una bifurcación de Hopf ”, Biophysical Journal , vol. 95, n o 22008, p. 540–549 ( PMID 18456830 , PMCID 2440454 , DOI 10.1529 / biophysj.107.126086 , leer en línea )

enlaces externos