Autocorrelación

La correlación es una herramienta matemática que se utiliza a menudo en el procesamiento de señales . Es la correlación cruzada de una señal por sí misma. La autocorrelación permite detectar regularidades, perfiles repetidos en una señal como una señal periódica perturbada por mucho ruido , o una frecuencia fundamental de una señal que en realidad no contiene este fundamental, pero lo involucra con varios de sus armónicos.

Definiciones

General

Nota: A menudo se crea confusión entre la autocovarianza y la autocorrelación. Estas dos nociones generalizan las nociones clásicas de covarianza teniendo como dimensión la dimensión de la variable al cuadrado y del coeficiente de correlación entre y . Las siguientes consideraciones utilizan el lenguaje más utilizado por los profesionales, sin división por varianza. También hay dos definiciones fundamentalmente diferentes.-1{\ displaystyle -1} +1{\ displaystyle +1}

Un proceso estocástico discreto o continuo corresponde a una “autocorrelación” estadística que generaliza la noción de covarianza. En el caso de un proceso continuo (en cualquier generalidad compleja) , la función de autocorrelación estadística se define como:X(t){\ Displaystyle X (t) \,}

RX(t1,t2)=mi[X(t1).X∗(t2)].{\ Displaystyle R_ {X} (t_ {1}, t_ {2}) = E [X (t_ {1}). X ^ {*} (t_ {2})].} En el caso de una señal estacionaria, podemos escribir: donde es el cambio de tiempo y la expectativa matemática se define a partir de la densidad de probabilidad. RX(τ)=mi[X(t).X∗(t-τ)],{\ textstyle R_ {X} (\ tau) = E [X (t) .X ^ {*} (t- \ tau)],}τ{\ Displaystyle \ tau \,}

A partir de una señal , podemos definir la autocorrelación temporal reemplazando la media general por una media temporal:X(t){\ Displaystyle x (t) \,}

RX(τ)=X(t)X∗(t-τ)¯.{\ Displaystyle R_ {x} (\ tau) = {\ overline {x (t) x ^ {*} (t- \ tau)}}.} Cuando la señal se considera como la realización de un proceso estacionario ergódico , la autocorrelación temporal es idéntica a la autocorrelación estadística. Puede usarse para calcular el contenido de frecuencia de la señal (ver densidad espectral ). En algunos problemas, permite analizar la señal sin hacer referencia a su contenido de frecuencia.

Estadísticas

En estadística , la autocorrelación de un proceso o serie de tiempo discreto es simplemente la correlación del proceso con una versión de sí mismo con retraso en el tiempo. Si es un proceso de expectativa estacionario , entonces la definición es:Xt{\ Displaystyle X_ {t}}Xt{\ Displaystyle X_ {t}}μ{\ Displaystyle \ mu}

R(k)=1σ2mi[(XI-μ)(XI+k-μ)],{\ Displaystyle R (k) = {\ frac {1} {\ sigma ^ {2}}} \ mathbb {E} {\ bigl [} (X_ {i} - \ mu) (X_ {i + k} - \ mu) {\ bigr]},} donde es la expectativa matemática , es el desfase de tiempo, es la media de y es la varianza de . Es una función con valores de intervalo que indica una correlación perfecta (las señales se superponen exactamente cuando el tiempo cambia ) e indica una anticorrelación perfecta. Es práctico en muchas disciplinas trazar la normalización y utilizar el término autocorrelación indiscriminadamente con el de autocovarianza . mi[⋅]{\ Displaystyle \ mathbb {E} [\ cdot]}k{\ Displaystyle k}μ{\ Displaystyle \ mu}X{\ Displaystyle X}σ2{\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}X{\ Displaystyle X}[-1,1]{\ displaystyle [-1,1]}1{\ Displaystyle 1}k{\ Displaystyle k}-1{\ displaystyle -1}σ2{\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}

Procesamiento de la señal

En el procesamiento de señales, para una señal dada , la autocorrelación continua es la correlación cruzada continua de sí misma, en el intervalo de tiempo , y se define como:F(t){\ Displaystyle f (t)}RF(τ){\ Displaystyle R_ {f} (\ tau)}F(t){\ Displaystyle f (t)}τ{\ Displaystyle \ tau}

RF(τ)=F∗(⋅-τ)∘F(⋅)=∫-∞∞F(t+τ)F∗(t)Dt=∫-∞∞F(t)F∗(t-τ)Dt,{\ Displaystyle R_ {f} (\ tau) = f ^ {*} (\ cdot - \ tau) \ circ f (\ cdot) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t + \ tau) f ^ {*} (t) \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) f ^ {*} (t- \ tau) \ mathrm {d} t,} donde representa el conjugado complejo y representa el operador de convolución ( ). Formalmente, la autocorrelación discreta para el intervalo de tiempo y la señal es:F∗{\ displaystyle f ^ {\ ast}}∘{\ Displaystyle \ circ}F=F∗,∀F(t)∈R{\ Displaystyle f = f ^ {\ ast}, \ quad \ forall f (t) \ in \ mathbb {R}}R{\ Displaystyle R}j{\ Displaystyle j}X[no]{\ Displaystyle x [n]} R[j]=∑no(X[no]-metro)(X∗[no-j]-metro)=mi[(X[no]-metro)(X∗[no-j]-metro)],{\ Displaystyle R [j] = \ sum _ {n} (x [n] -m) (x ^ {\ ast} [nj] -m) = \ mathbb {E} {\ bigl [} (x [n ] -m) (x ^ {\ ast} [nj] -m) {\ bigr]},} donde es el valor medio (valor esperado) de . A menudo, las autocorrelaciones se calculan para una señal centrada en cero. Es decir una señal cuyo valor medio es cero. La autocorrelación se define entonces por:metro{\ Displaystyle m}X[no]{\ Displaystyle x [n]} R[j]=∑noX[no]X∗[no-j]=mi[X[no]X∗[no-j]].{\ Displaystyle R [j] = \ sum _ {n} x [n] x ^ {\ ast} [nj] = \ mathbb {E} {\ bigl [} x [n] x ^ {\ ast} [nj ] {\ Gran R]}.} La autocorrelación multidimensional se define de manera similar. Por ejemplo, en tres dimensiones la autocorrelación se convierte en: R(j,k,ℓ)=∑no,q,r(X[no,q,r]-metro)(X[no-j,q-k,r-ℓ]-metro)=mi[(X[no,q,r]-metro)(X[no-j,q-k,r-l]-metro)].{\ Displaystyle R (j, k, \ ell) = \ sum _ {n, q, r} (x [n, q, r] -m) (x [nj, qk, r- \ ell] -m) = \ mathbb {E} {\ bigl [} (x [n, q, r] -m) (x [nj, qk, rl] -m) {\ bigr]}.}

Propiedades

A continuación, describiremos únicamente las propiedades de autocorrelación unidimensional, ya que la mayoría de las propiedades se extienden fácilmente de casos unidimensionales a multidimensionales.

• Una propiedad fundamental de la autocorrelación es la simetría , que se demuestra a partir de la definición.RF(τ)=RF(-τ){\ Displaystyle R_ {f} (\ tau) = R_ {f} (- \ tau)}
• En un caso continuo, la función de autocorrelación es un mismo par :
  • RF(-τ)=RF(τ){\ Displaystyle R_ {f} (- \ tau) = R_ {f} (\ tau) \,}cuando f es una función real y una función hermitiana ;
  • RF(-τ)=RF∗(τ){\ Displaystyle R_ {f} (- \ tau) = R_ {f} ^ {*} (\ tau) \,}cuando f es una función compleja.

• La función de autocorrelación continua alcanza su punto máximo en el origen, donde adquiere un valor real. Esto quiere decir que para todos los tiempos , . Ésta es una consecuencia de la

desigualdad de Cauchy-Schwarz . Se obtiene el mismo resultado para un caso discreto.τ{\ Displaystyle \ tau}|RF(τ)|≤RF(0){\ Displaystyle | R_ {f} (\ tau) | \ leq R_ {f} (0)}

• La autocorrelación de una función periódica es en sí misma periódica, con exactamente el mismo período.

• La autocorrelación de la suma de dos funciones totalmente no correlacionadas (la correlación cruzada es cero para todo ) es la suma de las autocorrelaciones de cada una de las funciones.τ{\ Displaystyle \ tau}

• Dado que la autocorrelación es un tipo específico de correlación cruzada , conserva todas las propiedades de la correlación cruzada.

• La autocorrelación de un ruido blanco tendrá un pico grande en y estará cerca de cualquier otro . Esto muestra que una grabación de ruido blanco en un momento no se correlaciona estadísticamente con una grabación del mismo ruido blanco en otro momento.τ=0{\ Displaystyle \ tau = 0}0{\ displaystyle 0}τ{\ Displaystyle \ tau}

• El teorema de Wiener-Khintchine relaciona la función de autocorrelación con la

densidad espectral de potencia mediante la transformación de Fourier :RF(τ){\ Displaystyle R_ {f} (\ tau)} SF(ω){\ Displaystyle S_ {f} (\ omega)} RF(τ)=F-1{SF(ω)}(τ)⟺SF(ω)=F{RF(τ)}(ω).{\ Displaystyle R_ {f} (\ tau) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {S_ {f} (\ omega) \} (\ tau) \ Longleftrightarrow S_ {f} (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {R_ {f} (\ tau) \} (\ omega).}

Aplicaciones

• La medida del espectro óptico y la medida del destello de luz de muy corta duración producido por láser , utilizando un autocorrelacionador óptico .

• En óptica, la autocorrelación normalizada y la correlación cruzada dan el grado de coherencia de un campo electromagnético.

• En el procesamiento de señales , la autocorrelación puede proporcionar información sobre eventos repetidos, como ritmos musicales o frecuencias de púlsar , aunque esto no puede dar la posición del tiempo en el tiempo.

El siguiente ejemplo muestra la señal de un archivo de sonido MIDI Beau Danube azul (izquierda) y su autocorrelación (solo los primeros 4 segundos).

• La autocorrelación, utilizada anteriormente como intermediaria en el cálculo de una densidad espectral , hoy se abandona en favor de la transformación rápida de Fourier (ver también Análisis espectral para consideraciones elementales).