Arg max
En matemáticas , el argumento máximo , anotado arg max o argmax , es el conjunto de puntos en los que una expresión alcanza su valor máximo .
Definición
Para una función , con un conjunto totalmente ordenado, el argumento máximo de está definido por:
F:X→Y{\ Displaystyle f: X \ to Y}Y{\ Displaystyle Y}F{\ Displaystyle f}
argramometroaXF =def {X∈X | ∀X′∈X, F(X′)≤F(X)}{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ {x \ in X \ | \ \ forall x '\ in X, \ f ( x ') \ leq f (x) \}}es decir,
es el conjunto de valores para los que alcanza su máximo. De manera equivalente, es el nivel establecido del máximo de :
argramometroaXF{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f}X{\ Displaystyle x}F{\ Displaystyle f}argramometroaXF{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f}F{\ Displaystyle f}
argramometroaXF=F-1({maxF}).{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} \, f = {f} ^ {- 1} (\ {\ operatorname {max} \, f \}).}También podemos encontrar la notación .
argramometroaXXF(X){\ Displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x)}
Si es parte de entonces arg max de la restricción a , se puede señalar
A{\ Displaystyle A}X{\ Displaystyle X}F{\ Displaystyle f}A{\ Displaystyle A}F|A{\ Displaystyle f_ {| A}}
argramometroaXF|A o argramometroaXAF o argramometroaXX∈AF(X).{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, max} f_ {| A} {\ text {o}} {\ underset {A} {\ operatorname {arg \, max}}} f {\ text {o}} {\ underet {x \ in A} {\ operatorname {arg \, max}}} f (x).}Su valor es
argramometroaXAF = {X∈A | ∀X′∈A, F(X′)≤F(X)}.{\ Displaystyle {\ underset {A} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f \ = \ \ {x \ in A \ | \ \ forall x '\ in A, \ f (x') \ leq f (x) \}.}Por ejemplo, si es , entonces alcanza su valor máximo por solo y su argumento máximo es .
F(X){\ Displaystyle f (x)}-|X|{\ Displaystyle - | x |}X=0{\ Displaystyle x = 0}{0}{\ Displaystyle \ {0 \}}
También tenemos
argramometroaXX∈[0,4π]porque(X)={0,2π,4π}{\ Displaystyle {\ underset {x \ in [0.4 \ pi]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0.2 \ pi, 4 \ pi \}}porque el máximo de es , y este valor se alcanza en el intervalo cuando , o .
porque(X){\ Displaystyle \ cos (x)}1{\ Displaystyle 1}[0;4π]{\ Displaystyle [0; 4 \ pi]}X=0{\ Displaystyle x = 0}2π{\ Displaystyle 2 \ pi}4π{\ Displaystyle 4 \ pi}
Si el máximo se alcanza en un solo punto, entonces, en aras de la simplicidad, también podemos designar este punto como el máximo arg y podemos usar el punto o el singleton según el contexto. Por ejemplo, el único máximo de es , alcanzado solo para , por lo tanto
X(10-X){\ Displaystyle x \, (10-x)}25{\ Displaystyle 25}X=5{\ Displaystyle x = 5}
argramometroaXX∈R(X(10-X))=5{\ Displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} (x \, (10-x)) = 5} en un contexto de números
y
argramometroaXX∈R(X(10-X))={5}{\ Displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} (x \, (10-x)) = \ {5 \}} en un contexto de conjuntos.
Arg min
arg min (o argmin ) se define de manera similar (reemplazando "max" por "min" y por ): para una función , con un conjunto totalmente ordenado, arg min se define por
≤{\ Displaystyle \ leq}≥{\ Displaystyle \ geq}F:X↦Y{\ Displaystyle f: X \ mapsto Y}Y{\ Displaystyle Y}
argramometroInoF =def {X∈X | ∀X′∈X,F(X′)≥F(X)}.{\ Displaystyle \ operatorname {arg \, min} \, f \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ {x \ in X \ | \ \ forall x '\ in X, f (x ') \ geq f (x) \}.}Ver también
Crédito de autor
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Arg max " ( consulte la lista de autores ) .
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