Transformación de Laplace

La función Heaviside vale 0 para t <0, 1 para t > 0 (su valor en 0 no tiene importancia). Al ser esta función discontinua, no es derivable en el sentido habitual. Por otro lado, su derivada en el sentido de distribuciones es la “función” de Dirac . El viene Υ{\ Displaystyle \ Upsilon}δ{\ Displaystyle \ delta}

L(δ)=pagL(Υ)-Υ(0-)=1-0=1,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = p {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) - \ Upsilon \ left (0 ^ {-} \ right) = 1-0 = 1,}

ya que

L(Υ)=1pag,ℜ(pag)>0.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) = {\ dfrac {1} {p}}, \ Re (p)> 0.}

Tenga en cuenta que si reemplazamos, en la fórmula de la regla de derivación, ƒ (0 - ) por ƒ (0 + ), encontraríamos , que es falso (volveremos a esto más adelante). Algunas fuentes pueden tener este error. L(δ)=0{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 0}

De manera similar, a veces vemos la siguiente definición de la transformación de Laplace:

F(pag)=∫α+∞mi-pagtF(t) Dt{\ Displaystyle F \ left (p \ right) = \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f \ left (t \ right) ~ {\ rm { d}} t}

con , incluso una falta de precisión en este límite. Si f es una función en el sentido habitual de este término, con soporte positivo, se trata de una integral de Lebesgue que coincide con la correspondiente a , ya que es de medida cero; en este caso también se puede escribir sin ambigüedad . No es lo mismo si f es una “función generalizada”, es decir una distribución para Gelfand y Shilov (in) , cuando ésta tiene una masa distinta de cero en el origen. El prototipo es la distribución de Dirac. Algebraicamente, esta distribución es el elemento neutral en el álgebra convolucional de distribuciones apoyadas positivamente; y dado que la transformación de Laplace transforma el producto de convolución en un producto ordinario, debemos tener la transformación de Laplace . Sin embargo, esto solo será cierto si . De hecho, con obtendríamos una transformada de Laplace igual a 0. Esto sería tanto más aberrante cuanto que la transformada de Laplace no sería inyectiva, ya que . α=0+{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}α=0-{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}{0}{\ Displaystyle \ left \ {0 \ right \}}α=0{\ Displaystyle \ alpha = 0} δ{\ Displaystyle \ delta}D+′{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {+} ^ {\ prime}}δ{\ Displaystyle \ delta}L(δ)=1{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 1}α=0-{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}α=0+{\ Displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}δ≠0{\ Displaystyle \ delta \ neq 0}

Multiplicación por una potencia de t

La multiplicación por en el dominio del tiempo corresponde, excepto por el signo, a la n -ésima derivada de la transformada: tno,no∈NO{\ Displaystyle t ^ {n}, n \ in \ mathbb {N}}

L{tnoF(t)}=(-1)noDnoL{F}Dpagno{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {t ^ {n} f \ left (t \ right) \ right \} = \ left (-1 \ right) ^ {n} {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {\ mathrm {d} p ^ {n}}}}

(1) Suponga que f es localmente integrable con soporte positivo. Por tanto, la transformada de Laplace de f se define para , donde es la abscisa de convergencia, por ℜ(pag)>α{\ Displaystyle \ Re (p)> \ alpha}α{\ Displaystyle \ alpha}

L{F}(pag)=∫0+∞F(t)mi-pagt Dt{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (p) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt } ~ {\ rm {d}} t}

La función es holomórfica . Cualquiera y . Entonces y por crecimientos comparativos , la función es integrable en [0, + ∞ [ . Por tanto, la función es holomórfica, y su derivada se obtiene diferenciando bajo el signo de suma  : pag↦F(t)mi-pagt{\ Displaystyle p \ mapsto f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt}}β>α{\ Displaystyle \ beta> \ alpha}ℜ(pag)>β{\ Displaystyle \ Re (p)> \ beta}|tF(t)mi-pagt|≤|tF(t)mi-βt|{\ Displaystyle \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right \ vert \ leq \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e }} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}t↦|tF(t)mi-βt|{\ Displaystyle t \ mapsto \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}pag↦∫0+∞F(t)mi-pagt Dt{\ Displaystyle p \ mapsto \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t}

DL{F}Dpag(pag)=∫0+∞F(t)(-tmi-pagt) Dt=-L{tF(t)}(pag){\ Displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {{\ rm {d}} p}} \ left (p \ right) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) \ left (-t {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right) ~ {\ rm {d}} t = - {\ mathcal {L}} \ left \ {tf \ left (t \ right) \ right \} \ left (p \ right)}

Esto prueba el resultado en el caso n = 1 . El caso general sigue, por inducción.

(2) Este resultado sigue siendo válido cuando f es una distribución con soporte positivo.

La fórmula inversa (para n = -1 ) es:

L{F(t)t}(pag)=∫pag∞F(σ)Dσ{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right) = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}

y es válido siempre que f sea ​​de la forma donde g es una función generalizada con apoyo positivo. A continuación se muestra una forma de demostrar este resultado. t↦tgramo(t){\ Displaystyle t \ mapsto tg \ left (t \ right)}

∫pag∞F(σ)Dσ=∫pag∞∫0∞mi-σtF(t)DtDσ=∫0∞F(t)∫pag∞mi-σtDσDt=∫0∞F(t)1tmi-pagtDt=L{F(t)t}(pag){\ Displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0 } ^ {\ infty} f (t) {\ frac {1} {t}} \ mathrm {e} ^ {- pt} \, \ mathrm {d} t = {\ mathcal {L}} \ left \ { {\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right)}

Integración

La transformación de Laplace de una integral (primitiva de f que desaparece en 0 ) corresponde a una multiplicación por 1 / p  :

L{∫0-tF(τ)Dτ}=1pagL{F}{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {0 ^ {-}} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau \ right \} = {\ frac {1 } {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \}}

y si ƒ es una función con soporte positivo, continua sobre [0, + ∞ [ , tenemos para todo a > 0  :

L{∫atF(τ) Dτ}=1pagL{F}+1pag∫a0F(τ)Dτ.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) ~ {\ rm {d}} \ tau \ right \} = {\ frac {1} {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \} + {1 \ over p} \ int _ {a} ^ {0} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau.}

Valor final

Suponga que f es localmente integrable con soporte positivo. Si el límite del dominio del tiempo existe y es finito, entonces:

limt→+∞F(t)=limpag∈R,pag→0+pagF(pag).{\ Displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p \ mathrm {F} (p) .}

(Tenga en cuenta que esta es la única propiedad donde aparece un 0 + para la variable ). pag{\ Displaystyle p}

O bien . La existencia de este límite finito implica que la abscisa de convergencia de la transformada de Laplace es . l=limt→+∞F(t){\ Displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right)}F(pag){\ Displaystyle F (p)}≤0{\ Displaystyle \ leq 0}

Tenemos  ; la transformada de Laplace de es , y obviamente . Al restar de , quedamos, por tanto, reducidos al caso de una función, nuevamente anotada f , tal que . limt→+∞Υ(t)=1{\ Displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ Displaystyle \ Upsilon}1pag{\ Displaystyle {\ frac {1} {p}}}limpag∈R,pag→0+pag1pag=1{\ Displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ Displaystyle l \ Upsilon (t)}F(t){\ Displaystyle f (t)}limt→+∞F(t)=0{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right) = 0}

Entonces, para todos , no es tal que para todo , . Se tiene ε>0{\ Displaystyle \ varepsilon> 0}A>0{\ Displaystyle A> 0}t>A{\ Displaystyle t> A}|F(t)|≤ε{\ Displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

pagF(pag)=pag∫0AF(t)mi-pagtDt+pag∫A+∞F(t)mi-pagt Dt.{\ Displaystyle pF (p) = p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} dt + p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Tomemos . Se tiene pag∈R,pag>0{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}, p> 0}

|∫0AF(t)mi-pagt Dt|≤∫0A|F(t)| Dt<+∞{\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {A} \ vert f (t) \ vert ~ {\ rm {d}} t <+ \ infty}

y consecuentemente

limpag∈R,pag→0+pag∫0AF(t)mi-pagt Dt=0.{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {-pt} ~ {\ rm {d}} t = 0.}

Por tanto, existe un real tal que para yα>0{\ Displaystyle \ alpha> 0}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<pag<α{\ Displaystyle 0 <p <\ alpha}

|pag∫0AF(t)mi-pagt Dt|<ε.{\ Displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert <\ varepsilon .}

De otra parte,

|∫A+∞F(t)mi-pagt Dt|≤∫0+∞εmi-pagt Dt=εpag{\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varepsilon {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {\ varepsilon} {p}}}

por lo que existe tal que para yβ>0{\ Displaystyle \ beta> 0}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<pag<β{\ Displaystyle 0 <p <\ beta}

|pag∫A+∞F(t)mi-pagt Dt|≤ε.{\ Displaystyle \ left \ vert p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ varepsilon.}

Por lo tanto, si ypag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<pag<min(α,β){\ Displaystyle 0 <p <\ min (\ alpha, \ beta)}

|pag∫0+∞F(t)mi-pagt Dt|≤2ε{\ Displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}

lo que da como resultado que cuando tiende a 0 + . pag∫0+∞F(t)mi-pagt Dt→0{\ Displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ rightarrow 0}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}

Las hipótesis indicadas son esenciales, como lo muestran los siguientes contraejemplos:

• La función admite como límite + ∞ cuando t tiende hacia + ∞ . Su transformada de Laplace es y . Este último límite no tiene en realidad ninguna dirección porque la abscisa de convergencia de F es 1, por lo tanto 0 no pertenece a la adhesión del campo de convergencia.F:t↦mitΥ(t){\ Displaystyle f: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {t} \ Upsilon (t)}F(pag)=1pag-1{\ Displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p-1}}}limpag→0pagF(pag)=0{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {p \ rightarrow 0} pF \ left (p \ right) = 0}
• La función no admite límite cuando t tiende a + ∞ . Su transformada de Laplace es , la abscisa de convergencia de F es 0 y (este último límite es correcto esta vez).F:t↦pecado⁡tΥ(t){\ Displaystyle f: t \ mapsto \ sin t \ Upsilon (t)}F(pag)=1pag2+1{\ Displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}limpag∈R,pag→0+pagF(pag)=0{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} pF \ left (p \ right) = 0}
• Si es una función racional, existe y es finita si, y solo si los polos de todos pertenecen a la unión del semiplano izquierdo abierto y el origen, siendo el polo en 0, si existe, simple.F(pag){\ Displaystyle F (p)}limt→+∞F(t){\ Displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t)}F(pag){\ Displaystyle F (p)}

Valor inicial

Si tiene una abscisa de convergencia finita y si existe el límite en el dominio del tiempo, entonces: F(pag){\ Displaystyle F (p)}

limt→0+F(t)=limpag∈R,pag→+∞pagF(pag){\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p \ mathrm {F} (p) }

(Tenga en cuenta que esta es la única propiedad donde aparece un 0 + para la variable ). t{\ Displaystyle t}

O bien . Tenemos  ; la transformada de Laplace de es , y obviamente . Al restar de , quedamos, por tanto, reducidos al caso de una función, anotada nuevamente como f , tal que . l=limt→0+F(t){\ Displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right)}limt→0+Υ(t)=1{\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ Displaystyle \ Upsilon}1pag{\ Displaystyle {\ frac {1} {p}}}limpag∈R,pag→+∞pag1pag=1{\ Displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p {\ frac {1} {p}} = 1}lΥ(t){\ Displaystyle l \ Upsilon (t)}F(t){\ Displaystyle f (t)}limt→0+F(t)=0{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right) = 0}

O bien . Existe por hipótesis tal que para todo t tal que , tenemos . De otra parte, ε>0{\ Displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ Displaystyle \ eta> 0}0<t<η{\ Displaystyle 0 <t <\ eta}|F(t)|≤ε{\ Displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

pag∫0+∞F(t)mi-pagt Dt=I1+I2{\ Displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = I_ {1} + I_ {2 }}

con

I1=pag∫0ηF(t)mi-pagt Dt, I2=pag∫η+∞F(t)mi-pagt Dt.{\ Displaystyle I_ {1} = p \ int _ {0} ^ {\ eta} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t, ~ I_ {2 } = p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Sea un real estrictamente mayor que la abscisa de convergencia de y . Se tiene α{\ Displaystyle \ alpha}F(pag){\ Displaystyle F (p)}pag∈R, pag>α{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}, ~ p> \ alpha}

|I2|=|pag∫η+∞F(t)mi-(pag-α)tmi-αt Dt|≤pagmi-(pag-α)η∫0+∞|F(t)|mi-αt Dt{\ Displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert = \ left \ vert p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) t} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq p {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) \ eta} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left \ vert f \ left (t \ right) \ right \ vert {\ rm {e}} ^ { - \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t}

donde la integral derecha es convergente, entonces cuando . Por lo tanto, existe un tal que tan pronto como y . I2→0{\ displaystyle I_ {2} \ rightarrow 0}pag→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}A>0{\ Displaystyle A> 0}|I2|≤ε{\ Displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert \ leq \ varepsilon}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}pag>A{\ Displaystyle p> A}

De otra parte,

|I1|≤pagε∫0ηmi-pagt Dt=ε(1-mi-pagη){\ Displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq p \ varepsilon \ int _ {0} ^ {\ eta} {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d} } t = \ varepsilon \ left (1 - {\ rm {e}} ^ {- p \ eta} \ right)}

y este término tiende hacia cuando , por lo tanto existe un tal real como tan pronto como y . Finalmente, para y tenemos ε{\ Displaystyle \ varepsilon}pag→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}B>0{\ Displaystyle B> 0}|I1|≤2ε{\ Displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}pag>B{\ Displaystyle p> B}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}pag>max(A,B){\ Displaystyle p> \ max (A, B)}

|pagF(pag)|≤3ε.{\ Displaystyle \ left \ vert pF \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq 3 \ varepsilon.}

Ahora, es arbitrariamente pequeño, por lo que este término tiende a 0 cuando y . ε>0{\ Displaystyle \ varepsilon> 0}pag∈R{\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}}pag→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}

Circunvolución

La transformación de Laplace convierte el producto de convolución en un producto:

L{F∗gramo}=L{F}L{gramo}{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}}

Transformada de Laplace de una función periódica

Si f es una función nula para t <0 y, para t > 0, periódica con período T , entonces paraRmi(pag)>0{\ displaystyle Re \ left (p \ right)> 0}

L{F}(pag)=11-mi-Tpag∫0Tmi-pagtF(t)Dt.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Usamos la relación de Chasles para descomponer la integral en cada período:

∫0∞mi-pagtF(t)Dt=∫0Tmi-pagtF(t)Dt+∫T2Tmi-pagtF(t)Dt+∫2T3Tmi-pagtF(t)Dt+...{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {T} ^ {2T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {2T} ^ {3T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ ldots}

Hacemos un cambio de variables para devolver las integrales a [0, T ]

∫0∞mi-pagtF(t)Dt=∫0Tmi-pagtuF(tu)Dtu+∫0Tmi-pag(tu+T)F(tu+T)Dtu+∫0Tmi-pag(tu+2T)F(tu+2T)Dtu+...{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t = \ int _ {0} ^ {T } {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + T)} f (u + T) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + 2T)} f (u + 2T ) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Dado que f es periódica, podemos simplificar las integrales mediante

∫0∞mi-pagtF(t)Dt=∫0Tmi-pagtuF(tu)Dtu+mi-pagT∫0Tmi-pagtuF(tu)Dtu+mi-2pagT∫0Tmi-pagtuF(tu)Dtu+...{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm { e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {-pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Agrupamos los términos:

∫0∞mi-pagtF(t)Dt=(1+mi-pagT+mi-2pagT+...)∫0Tmi-pagtuF(tu)Dtu.{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ left (1 + {\ rm {e} } ^ {- pT} + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} + \ ldots \ right) \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u ) \, \ mathrm {d} u.}

Esta serie geométrica converge (porque e - pT <1 ). El viene entonces

L{F}(pag)=11-mi-Tpag∫0Tmi-pagtF(t)Dt.{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Tabla resumen de las propiedades de la transformación de Laplace

	Dominio del tiempo	Dominio "p"	Comentarios
Linealidad	aF(t)+Bgramo(t){\ Displaystyle af (t) + bg (t)}	aF(pag)+BGRAMO(pag){\ Displaystyle a \ mathrm {F} (p) + b \ mathrm {G} (p)}	Resulta de las reglas básicas de integración.
Derivada de la transformada	tF(t){\ Displaystyle tf (t)}	-F′(pag){\ Displaystyle - \ mathrm {F} '(p)}	F′{\ Displaystyle \ mathrm {F} '}es la primera derivada de F.
Derivadas de orden n de la transformada	tnoF(t){\ Displaystyle t ^ {n} f (t)}	(-1)noF(no)(pag){\ Displaystyle (-1) ^ {n} \ mathrm {F} ^ {(n)} (p)}	Forma más general, n- ésima derivada de F ( p ).
Primera derivada de la función en el dominio del tiempo	F′(t){\ Displaystyle f '(t)}	pagF(pag)-F(0-){\ Displaystyle p \ mathrm {F} (p) -f \ left (0 ^ {-} \ right)}	Se supone que f es diferenciable y que su derivada tiende exponencialmente hacia 0. Puede obtenerse mediante integración por partes .
Segunda derivada	F″(t){\ Displaystyle f '' (t)}	pag2F(pag)-pagF(0-)-F′(0-){\ Displaystyle p ^ {2} \ mathrm {F} (p) -pf \ left (0 ^ {-} \ right) -f '\ left (0 ^ {-} \ right)}	Se supone que f es dos veces diferenciable, con la segunda derivada convergiendo exponencialmente al infinito.
N-ésima derivada de ƒ	F(no)(t){\ Displaystyle f ^ {(n)} (t)}	pagnoF(pag)-pagno-1F(0-)-⋯-F(no-1)(0-){\ Displaystyle p ^ {n} \ mathrm {F} (p) -p ^ {n-1} f \ left (0 ^ {-} \ right) - \ cdots -f ^ {(n-1)} \ izquierda (0 ^ {-} \ derecha)}	ƒ se supone que es n veces diferenciables, con una n- ésimo derivado con la convergencia exponencial en el infinito.
Integración de la transformada de Laplace	F(t)t{\ Displaystyle {\ frac {f (t)} {t}}}	∫pag∞F(σ)Dσ{\ Displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
Integración	∫0tF(τ)Dτ=(tu∗F)(t){\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = (u * f) (t)}	1pagF(pag){\ Displaystyle {1 \ over p} \ mathrm {F} (p)}	tu(t){\ Displaystyle u (t)}es la función escalonada de Heaviside. El operador ( u  *  f ) ( t ) es el producto de convolución de u ( t ) y ƒ ( t ).
Dilatación de la escala de tiempo	F(at) {\ Displaystyle f (en) \}	1|a|F(paga){\ Displaystyle {\ frac {1} {| a |}} \ mathrm {F} \ left ({p \ over a} \ right)}
Desplazamiento en p	miatF(t){\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {at} f (t)}	F(pag-a){\ Displaystyle \ mathrm {F} (pa)}	Esta propiedad a veces se conoce como teorema de amortiguación (o teorema de modulación ) con . a<0{\ Displaystyle a <0}
Cambio de dominio del tiempo	F(t-a)tu(t-a){\ Displaystyle f (ta) u (ta)}	mi-apagF(pag){\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- ap} \ mathrm {F} (p)}	u ( t ) es la función escalonada de Heaviside (función escalonada)
Multiplicación	F(t)gramo(t){\ Displaystyle f (t) g (t)}	12πIlimT→∞∫vs-ITvs+ITF(σ)GRAMO(pag-σ)Dσ{\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ lim _ {\ mathrm {T} \ to \ infty} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ mathrm {T}} ^ {c + {\ rm {i}} \ mathrm {T}} \ mathrm {F} (\ sigma) G (p- \ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}	La integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re (σ) = c que se ubica íntegramente dentro del radio de convergencia de F.
Producto de convolución	(F∗gramo)(t)=∫0tF(τ)gramo(t-τ)Dτ{\ Displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau}	F(pag)⋅GRAMO(pag){\ Displaystyle \ mathrm {F} (p) \ cdot \ mathrm {G} (p)}	ƒ ( t ) yg ( t ) se extienden para la definición del producto de convolución. R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
Conjugación compleja	F∗(t){\ Displaystyle f ^ {*} (t)}	F∗(pag∗){\ Displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (p ^ {*})}
Función de correlación	F(t)⋆gramo(t){\ Displaystyle f (t) \ star g (t)}	F∗(-pag∗)⋅GRAMO(pag){\ Displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (- p ^ {*}) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
Función periódica	F(t){\ Displaystyle f (t)}	11-mi-Tpag∫0Tmi-pagtF(t)Dt{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {T} p}}} \ int _ {0} ^ {\ mathrm {T}} {\ rm {e }} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t}	ƒ ( t ) es una función periódica del período T tal que . Esto resulta de la propiedad de desplazamiento en el dominio del tiempo y de la serie geométrica. F(t)=F(t+T),∀t≥0{\ Displaystyle f (t) = f (t + \ mathrm {T}), \; \ forall t \ geq 0}

Algunas transformaciones habituales

La transformada de Laplace monolateral solo es válida para funciones (posiblemente generalizadas) con soporte positivo. Es por esta razón que las funciones temporales de esta tabla son múltiples de (o están compuestas por) , unidad de paso de función (Heaviside) . Υ{\ Displaystyle \ Upsilon}

	Función	Dominio del tiempo X(t)=L-1{X(pag)}{\ Displaystyle x (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {\ mathrm {X} (p) \ right \}}	Transformada de Laplace X(pag)=L{X(t)}{\ Displaystyle \ mathrm {X} (p) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}	Región de convergencia
1	Distribución retrasada de Dirac	δ(t-τ) {\ Displaystyle \ delta (t- \ tau) \}	mi-τpag {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \}	∀ pag{\ Displaystyle \ forall \ p \,}
1a	Distribución de Dirac	δ(t) {\ Displaystyle \ delta (t) \}	1 {\ Displaystyle 1 \}	∀ pag{\ Displaystyle \ forall \ p \,}
2	monomio exponencial retardado	(t-τ)nono!mi-α(t-τ)⋅Υ(t-τ){\ Displaystyle {\ frac {(t- \ tau) ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha (t- \ tau)} \ cdot \ Upsilon (t- \ tau)}	mi-τpag(pag+α)no+1{\ Displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p}} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a	poder n -ésimo	tnono!⋅Υ(t){\ Displaystyle {t ^ {n} \ over n!} \ cdot \ Upsilon (t)}	1pagno+1{\ Displaystyle {1 \ over p ^ {n + 1}}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.1	q -ésima potencia	tqΓ(q+1)⋅Υ(t){\ Displaystyle {t ^ {q} \ over \ Gamma (q + 1)} \ cdot \ Upsilon (t)}	1pagq+1{\ Displaystyle {1 \ over p ^ {q + 1}}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.2	nivel de unidad	Υ(t) {\ Displaystyle \ Upsilon (t) \}	1pag{\ Displaystyle {1 \ over p}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2b	paso retrasado	Υ(t-τ) {\ Displaystyle \ Upsilon (t- \ tau) \}	mi-τpagpag{\ Displaystyle {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \ over p}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2c	rampa	t⋅Υ(t) {\ Displaystyle t \ cdot \ Upsilon (t) \}	1pag2{\ Displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2}}}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2d	monomio-exponencial	tnono!mi-αt⋅Υ(t){\ Displaystyle {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t)}	1(pag+α)no+1{\ Displaystyle {\ frac {1} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Re⁡(pag)>-α{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \,}
2d.1	exponencial	mi-αt⋅Υ(t) {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t) \}	1pag+α{\ Displaystyle {1 \ over p + \ alpha}}	Re⁡(pag)>-α {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
3	enfoque exponencial	(1-mi-αt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle (1 - {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t}) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αpag(pag+α){\ Displaystyle {\ frac {\ alpha} {p (p + \ alpha)}}}	Re⁡(pag)>0 {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
4	seno	pecado⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ωpag2+ω2{\ Displaystyle {\ omega \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(pag)>0 {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
5	coseno	porque⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pagpag2+ω2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(pag)>0 {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
6	seno hiperbólico	pecado⁡(αt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ sinh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αpag2-α2{\ Displaystyle {\ alpha \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Re⁡(pag)>|α| {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
7	coseno hiperbólico	aporrear⁡(αt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle \ cosh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pagpag2-α2{\ Displaystyle {p \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Re⁡(pag)>|α| {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
8	decaimiento exponencial de una onda sinusoidal	mi-αtpecado⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ω(pag+α)2+ω2{\ Displaystyle {\ omega \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(pag)>-α {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
9	decaimiento exponencial de una onda coseno	mi-αtporque⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pag+α(pag+α)2+ω2{\ Displaystyle {p + \ alpha \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Re⁡(pag)>-α {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
10	raíz n-ésima	tno⋅Υ(t){\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot \ Upsilon (t)}	pag-(no+1)/no⋅Γ(1+1no){\ Displaystyle p ^ {- (n + 1) / n} \ cdot \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right)}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
11	logaritmo	en⁡(tt0)⋅Υ(t){\ Displaystyle \ ln \ left ({t \ over t_ {0}} \ right) \ cdot \ Upsilon (t)}	-t0pag [ en⁡(t0pag)+γ ]{\ Displaystyle - {t_ {0} \ over p} \ [\ \ ln (t_ {0} p) + \ gamma \]}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
12	Función de Bessel del primer tipo, de orden n	Jno(ωt)⋅Υ(t){\ Displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωno(pag+pag2+ω2)-nopag2+ω2{\ Displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,} (no>-1){\ Displaystyle (n> -1) \,}
13	función de Bessel modificada del primer tipo, de orden n	Ino(ωt)⋅Υ(t){\ Displaystyle \ mathrm {I} _ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωno(pag+pag2-ω2)-nopag2-ω2{\ Displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}	Re⁡(pag)>|ω|{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ omega | \,} (no>-1){\ Displaystyle (n> -1) \,}
14	función de error	mirF(t)⋅Υ(t){\ Displaystyle \ mathrm {erf} (t) \ cdot \ Upsilon (t)}	mipag2/4erfc⁡(pag/2)pag{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {p ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ left (p / 2 \ right) \ over p}}	Re⁡(pag)>0{\ Displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
Notas: Υ(t){\ Displaystyle \ Upsilon (t) \,}representa la función de Heaviside . δ(t){\ Displaystyle \ delta (t) \,}representa la función de Dirac . Γ(z){\ Displaystyle \ Gamma (z) \,}es la función Gamma . γ{\ Displaystyle \ gamma \,}es la constante de Euler-Mascheroni . t{\ Displaystyle t \,}, es un número real, normalmente representa el tiempo, pero puede denotar cualquier otra cantidad. pag{\ Displaystyle p \,} es un número complejo. q{\ Displaystyle q \,}es un número real ( ).q+1>0{\ Displaystyle q + 1> 0} α{\ Displaystyle \ alpha \,}, , , Y son números reales.β{\ Displaystyle \ beta \,}τ{\ Displaystyle \ tau \,}ω{\ Displaystyle \ omega \,} no{\ Displaystyle n \,} es un entero.

Ejemplo de uso de la transformada de Laplace en electricidad

Consideramos un circuito llamado "R, C", que consta de una resistencia eléctrica de valor R y un condensador de capacidad eléctrica C, colocados en serie. En todos los casos se considera que el circuito se coloca en los terminales de un generador de voltaje ideal que entrega un voltaje (generalmente) variable u ( t ) solo en un instante elegido como origen de las fechas, y que el capacitor está inicialmente descargado.

Tenemos así, respectivamente, para la carga q ( t ) del condensador y la corriente en el circuito las siguientes condiciones iniciales: I(t)≡DqDt{\ Displaystyle i \ left (t \ right) \ equiv {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}}}

q(0-)=0,I(0-)=0.{\ Displaystyle q \ left (0 ^ {-} \ right) = 0, i \ left (0 ^ {-} \ right) = 0.}

Carga de un condensador por un paso de voltaje

Aplicamos el siguiente voltaje u ( t ):

tu(t)={0, Si t<0U0=vstmi, Si t≥0,{\ Displaystyle u (t) = {\ begin {cases} 0, {\ text {si}} t <0 \\\ mathrm {U} _ {0} = cte, {\ text {si}} t \ geq 0 \ end {cases}},}

y la ecuación diferencial que relaciona la respuesta q ( t ) con la entrada u ( t ) es aplicando las leyes usuales de la electricidad:

U0Υ(t)=RDqDt+q(t)VS,{\ Displaystyle \ mathrm {U} _ {0} \ Upsilon (t) = \ mathrm {R} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {q ( t)} {\ mathrm {C}}},}

o de nuevo estableciendo τ ≡ RC (esta cantidad tiene la dimensión de una duración) y dividiendo por R:

VSU0τΥ(t)=q(t)τ+DqDt.{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0}} {\ tau}} \ Upsilon (t) = {\ frac {q (t)} {\ tau}} + {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}.}

Tomamos la transformada de Laplace miembro a miembro de esta última ecuación, denotando Q ( p ) la transformada de q ( t ), viene, teniendo en cuenta el hecho de que q (0 - ) = 0:

Q(pag)=VSU01τpag((1τ)+pag),{\ Displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} {\ frac {\ frac {1} {\ tau}} {p \ left (({\ frac { 1} {\ tau}}) + p \ right)}},}

que también se puede escribir en la forma:

Q(pag)=H(pag)U(pag), con H(pag)≡(1/τ)[(1/τ)+pag],{\ Displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {H} (p) \ mathrm {U} (p) {\ text {, con}} \ mathrm {H} (p) \ equiv {\ frac { \ left (1 / \ tau \ right)} {\ left [(1 / \ tau) + p \ right]}},}

U(pag)=VSU0/pag,{\ Displaystyle \ mathrm {U} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} / p,}

Podemos revertir inmediatamente esta ecuación (usamos la entrada número 3 de la tabla anterior con α = 1 / τ ):

q(t)=U0VS[1-mi-t/τ]Υ(t).{\ Displaystyle q (t) = \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} \ left [1 - {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} \ right] \ Upsilon (t) .}

La interpretación física de esta solución es muy simple: hay una superposición de un régimen transitorio

qtranos(t)=-U0VSmi-t/τ,{\ Displaystyle q _ {\ mathrm {trans}} \ left (t \ right) = - \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} ,}

que describe la carga progresiva del capacitor, la cantidad τ ≡ RC que da la escala de tiempo (este es un ejemplo de una constante de tiempo de un sistema), en un estado estable

Qpagmirmetro=VSU0≡Qmetro{\ Displaystyle \ mathrm {Q_ {perm}} = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} \ equiv \ mathrm {Q_ {m}}}

que corresponde al estado del condensador completamente cargado bajo la tensión continua U 0 . Se muestra fácilmente que el capacitor está cargado al 90% ( q = 0.90 Q m ) al final del período T = τ ln (10) ≈ 2.3025 τ .

El término (1 - e - t / τ ) es la función de transferencia del sistema en el dominio del tiempo.

Podemos ver la facilidad de uso de la transformación de Laplace, que permite abstraerse completamente de la resolución de la ecuación diferencial en el espacio de tiempo mediante un pasaje en el "espacio p  ". Además, las condiciones iniciales se tienen en cuenta durante la transformación.

Notas y referencias

Notas

1. Bourles 2010 (§12.3.4), Bourles y Marinescu 2011 , § 7.3.4.1.
2. Denis-Papin y Kaufmann 1967 .
3. J.-É. Rombaldi, Ejercicios y problemas corregidos para la agregación de matemáticas , De Boeck Supérieur ,2018( leer en línea ) , pág.  193.
4. Bourlès 2010 , p.  356.
5. (en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalles de publicación ] ( leer en línea ), Cap. 29 (“Transformadas de Laplace”), pág. 1020: 29.2.4. y 29.2.5
6. (en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalles de publicación ] ( leer en línea ), Cap. 29 (“Transformadas de Laplace”), pág. 1020: 29.1.1.
7. Schwartz 1965 , VI, 2; 2.
8. André Desbiens, “  sistemas de control lineales y GEL-2005. Capítulo 3: Transformación de Laplace  ” , en Université Laval , p.  33.
9. Bracewell 2000 , Tabla 14.1, p. 385.
10. En carga unitaria de por multiplicación por C.

Referencias

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 y 1-84821-162-7 , lea en línea )
• Henri Bourlès y Bogdan Marinescu , Sistemas lineales que varían en el tiempo: Enfoque algebraico-analítico , Springer,2011, 638  p. ( ISBN  3642197264 )
• (en) Ronald N. Bracewell , La transformada de Fourier y sus aplicaciones , Boston, McGraw-Hill,2000, 3 e  ed. ( ISBN  0-07-116043-4 ).
• M. Denis-Papin y A. Kaufmann , curso de cálculo operativo aplicado , Albin Michel ,1967( ASIN  B003WR50TY )
• Laurent Schwartz , Métodos matemáticos para las ciencias físicas , Hermann ,1965( ISBN  2-7056-5213-2 )
• (en) DV Widder , The Laplace Transform , Dover Publications ,2011, 406  p. ( ISBN  978-0-486-47755-8 y 0-486-47755-X )

Ver también

Artículos relacionados

• Transformada bilateral de Laplace
• Transformado en Z
• Cálculo operativo
• Transformación de Mellin
• Función de transferencia
• Teorema de Bernstein sobre funciones totalmente monótonas