Función de transferencia

En el procesamiento de señales , una función de transferencia es un modelo matemático de la relación entre la entrada y la salida de un sistema lineal , la mayoría de las veces invariante . Se utiliza en particular en la teoría de la comunicación, en la automatización y en todas las ciencias de la ingeniería que apelan a esta disciplina ( electrónica , mecánica , mecatrónica , etc. ). Las señales de entrada y salida anteriores pueden tener varios componentes, en cuyo caso a menudo se especifica (sin que sea una obligación) que la función de transferencia es una matriz de transferencia . Por otro lado, estas señales solo pueden depender del tiempo (este es el caso más clásico), o de variables espaciales, o ambas: este es el caso de los sistemas multidimensionales ); algunos autores modelan de esta forma los sistemas definidos por ecuaciones diferenciales parciales. En el campo del procesamiento de imágenes , las señales de entrada y salida son funciones de las variables espaciales que con mayor frecuencia se consideran variables discretas, y luego son familias (o secuencias) indexadas. La función de transferencia de un sistema permite realizar análisis de frecuencia , por ejemplo, para posteriormente diseñar un regulador en lo que comúnmente se denomina dominio de frecuencia (ver el artículo Automático ). La entrada de un sistema lineal no es necesariamente una variable de comando y su salida no siempre es una variable cuyo comportamiento se desea gestionar; por ejemplo, un ruido coloreado puede modelarse como la salida de un sistema lineal que tiene como entrada un ruido blanco y cuya función de transferencia está determinada por el método de factorización espectral causal directa e inversa.

La noción de función de transferencia

La relación evocada anteriormente entre la entrada $u$ y la salida $y$ de un sistema es un operador de convolución cuyo núcleo es la respuesta al impulso del sistema. Excepto en el caso de un sistema estable o marginalmente estable, no se trata de una distribución templada (en el caso de variables continuas) ni de una secuencia de crecimiento lento (en el caso de variables discretas), por lo que no admite transformada de Fourier. Por tanto, es necesario considerar la transformada de Laplace o la transformada Z , dependiendo de si las variables son continuas o discretas. Es esta transformación la que se llama función de transferencia del sistema. Esto solo representa parcialmente el sistema, ya que no tiene en cuenta las condiciones iniciales (o de frontera). Más exactamente, se obtiene suponiendo que estas condiciones iniciales (o en los límites) son cero. Esto da como resultado una pérdida de información, lo que significa que la función de transferencia solo representa la parte controlable y observable del sistema. Sin embargo, es muy importante para el análisis de las propiedades de este sistema e, históricamente, es esta representación la que apareció primero (ver Historia del control automático ). Es importante comprender las posibilidades que ofrece el formalismo de las funciones de transferencia, así como sus límites.

La noción de función de transferencia se ha definido durante mucho tiempo solo para sistemas lineales invariantes . Naturalmente, surgió la pregunta de si esta noción podría extenderse al caso de sistemas lineales con coeficientes variables. Sólo recientemente, mediante un método algebraico, se ha logrado esta extensión con consecuencias prácticas tangibles.

Función de transferencia de un sistema monovariable

Caso de sistemas de tiempo continuo

Definición

Considere un sistema de ecuaciones:

D \ izquierda (\ parcial \ derecha) y = N \ izquierda (\ parcial \ derecha) u

donde $u$ y $y$ son la entrada y la salida, respectivamente, y donde $D (\partial)$ y $N (\partial)$ son polinomios con coeficientes reales en $\partial = D / d t$ de grado $n$ y $m$ respectivamente. El conjunto de estos polinomios es un anillo euclidiano y, por lo tanto , principal . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [\ parcial]}$

Se supone que el polinomio $D (\partial) no$ es cero. Suponga que $u$ e $y$ son "funciones generalizadas con soporte positivo" que admiten transformadas de Laplace denotadas respectivamente y . ${\ Displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ Displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

Suponga que las condiciones iniciales $y (0 - )\dots, y n -1 (0 - ), u (0 - )\dots, u m -1 (0 - )$ son cero . Mientras que la ecuación diferencial anterior implica, la transformada de Laplace , . ${\ Displaystyle D (p) {\ hat {y}} (p) = N (p) {\ hat {u}} (p)}$

En consecuencia : ${\ Displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}$

donde $G ( p )$ es la fracción racional $N ( p ) / D ( p )$ . Esta fracción racional se llama función de transferencia del sistema.

Polos no controlables

El razonamiento que involucra a esta fracción racional debe hacerse sobre su representación irreductible $N ' ( p ) / D ' ( p )$ donde $N ' ( p ) = N ( p ) / P ( p )$ , $D ' ( p ) = D ( p ) / P ( p )$ , $P ( p )$ denota un mcd de $N ( p )$ y $D ( p )$ .

El sistema considerado es siempre observable y controlable (resp. Estabilizable) si, y solo si $P ( p )$ es una unidad del anillo , es decir un real distinto de cero (resp. A polinomio de Hurwitz ). Las raíces en el plano complejo del polinomio $P$ $($ $p$ $)$ son los polos no controlables del sistema ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

Grado de una función de transferencia

El grado de una fracción racional $G = NO / D$ se define por: $d ° ( G ) = d ° ( N ) - d ° ( D )$ . Hagamos la división euclidiana de $N (\partial)$ por $D (\partial)$ . Viene $N (\partial) = D (\partial) Q (\partial) + R (\partial)$ donde $Q (\partial)$ es el cociente y $R (\partial)$ el resto, de modo que $d ° ( R ) < d ° ( D )$ . Al establecer $z = y - Q (\partial) u$ , dejemos de nuevo

{\ Displaystyle y = z + Q (\ parcial) u}

obtenemos

{\ estilo de visualización D (\ parcial) z = R (\ parcial) u}

Suponga que $u$ es una función continua por partes, que presenta una discontinuidad en el origen. Entonces $z$ es una función continua. Para $y$ , son posibles tres casos:

$Q (\partial) = 0$ , que es equivalente a $d ° ( G ) <0$ . Sedice quela fracción racional $G$ es estrictamente adecuada . En este caso, $R (\partial) = N (\partial)$ . Entonces $y = z$ .
$d ° ( Q ) = 0$ , que es equivalente a $d ° ( G ) = 0$ . Sedice quela fracción racional $G$ es bipropre . Entonces $y$ es una función que presenta las mismas discontinuidades que $u$ . Se dice que una función de transferencia estrictamente limpia o bi-clean es limpia .
$d ° ( Q )> 0$ , que es equivalente a $d ° ( G )> 0$ . Sedice quela fracción racional $G$ es impropia . En este caso, $y$ es, a nivel matemático, una distribución singular (es decir, una distribución que no es una función, porque se expresa en función de la distribución de Dirac y posiblemente de sus derivadas).

El caso (3) nunca ocurre en la práctica, ya que una entrada discontinua destruiría el sistema. El caso (2) es excepcional: corresponde a un sistema “sin inercia”. No obstante, un regulador puede tener una función de transferencia biespecífica (el caso más simple es el de un regulador proporcional).

Suponemos en lo que sigue que estamos en el caso (1) o (2).

Polos y ceros de transmisión - Estabilidad

Los polos (respectivamente ceros ) de transmisión del sistema se denominan polos (resp. Ceros) de la función de transferencia $G ( p )$ , es decir, las raíces de $D ' ( p )$ (resp. $N' ( p )$ ).

El sistema es EBSB estable si, y solo si, sus polos de transmisión pertenecen todos al semiplano izquierdo (del cual, por convención, se excluye el eje imaginario). Es exponencialmente estable si y solo si el polinomio $D (\partial)$ es Hurwitz . De lo anterior, el sistema es exponencialmente estable si y solo si es EBSB estable y estabilizable. (No se puede enfatizar lo suficiente que esto solo es cierto porque el sistema considerado es observable, y sus únicos modos ocultos posibles son, por lo tanto, sus polos no controlables).

Se dice que el sistema está en fase mínima si sus polos y ceros de transmisión pertenecen todos al semiplano izquierdo.

Respuesta frecuente

La respuesta de frecuencia del sistema considerado anteriormente es la función . Se define sobre el complemento de en donde es el conjunto (posiblemente vacío) de los polos de transmisión ubicados sobre el eje imaginario. El principio de la extensión analítica muestra que la respuesta de frecuencia determina completamente la función de transferencia. ${\ Displaystyle \ omega \ mapsto G ({\ rm {i}} \ omega)}$ $\ mathcal {P}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathcal {P}$

La interpretación de la respuesta en frecuencia es la siguiente: supongamos que la entrada del sistema es sinusoidal, de pulsación $ω$ (esta pulsación no pertenece al conjunto anterior). Es conveniente, en el plano matemático, escribir esta señal de entrada $u$ en forma compleja , . Entonces inmediatamente mostramos que la salida es (en forma compleja) $y$ $($ $t$ $) =$ $G$ $(i$ $ω$ $)$ $u$ $($ $t$ $)$ . Concretamente, la entrada y salida real (en todos los sentidos de la palabra) es, por supuesto, la parte real de la entrada y salida complejas de arriba. $\ mathcal {P}$ ${\ Displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega t}}$ $t \ in {\ mathbb {R}}$

Si el eje imaginario pertenece a la banda de convergencia de la función de transferencia (como transformada de Laplace bilateral de la respuesta al impulso), la respuesta en frecuencia no es otra que la transformada de Fourier de la respuesta al impulso. Por eso, en determinadas ciencias de la ingeniería donde los sistemas considerados son siempre estables, la función de transferencia se define como esta transformada de Fourier. Se trata de un abuso del lenguaje que no deja de generar cierta confusión.

Caso de sistemas de tiempo discreto

Definición

En el caso de los sistemas de tiempo discreto, el formalismo es muy similar al desarrollado anteriormente, con algunas diferencias

En la ecuación del sistema, el operador derivado $\partial$ se reemplaza por el operador avanzado . Las señales son ahora secuelas. ${\ Displaystyle q: x (k) \ mapsto x (k + 1)}$
Al escribir que $D ( q ) = q n + a 1 q n - 1 + ... + a n$ y $N ( q ) = b 0 q m + b 1 q m - 1 + ... + b m$ , l Por tanto, la ecuación del sistema se puede explicar de la siguiente manera:

{\ Displaystyle y (k + n) + a_ {1} y (k + n-1) + ... + a_ {n} y (k) = b_ {0} u (k + m) + b_ {1 } u (k + m-1) + ... + b_ {m} u (k)}

(3) Las condiciones iniciales ahora son $y (0), ..., y ( n - 1), u (0), ..., u ( m - 1)$ . Suponiendo que sean cero, y por que simboliza por $U ( z )$ y $Y ( z )$ los monolaterales transformadas en Z de las secuencias de $T$ y $Y$ , respectivamente, se obtiene (véase Propiedades de la transformada en Z )

{\ Displaystyle Y (z) = G (z) U (z)}

donde $G ( z )$ es la función de transferencia $N ( z ) / D ( z )$ .

Causalidad

El sistema es estrictamente causal si, y sólo si, su función de transferencia es una fracción racional estrictamente propia (es decir, $d ° ( G ) <0$ ). Esto significa que la salida en un instante $k$ dado (considerado como el instante presente) no está influenciada ni por el futuro de la entrada, ni siquiera por el valor de esta última en el instante $k$ .

El sistema es causal si, y solo si, su función de transferencia es la adecuada. Esto significa que la salida en un momento dado no está influenciada por el futuro de la entrada.

Finalmente, el sistema no es causal si y solo si su función de transferencia es inadecuada. La salida en un momento dado está influenciada por el futuro de la entrada. Por supuesto, esto es imposible cuando pasado, presente y futuro tienen los significados habituales. No obstante, es posible lograr, por ejemplo, el procesamiento de señales de tiempo retardado mediante el uso de filtros digitales no causales.

Estabilidad

Un sistema de tiempo discreto de función de transferencia $G ( z )$ es EBSB estable si, y solo si, sus polos de transmisión, es decir, los polos de $G ( z )$ , están todos ubicados dentro de la unidad circular.

Sabemos que la relación entre la variable de Laplace $p$ y la variable $z$ de la transformada en Z es (ver Transformada de Laplace ) $z = e pT$ donde $T$ es el período de muestreo. Entonces tenemos $| z | <1$ (resp. $| Z | = 1$ ) si, y solo si (resp. ). La condición de estabilidad, establecida aquí para sistemas de tiempo discreto, por lo tanto, no debería sorprender cuando se conoce lo establecido anteriormente para sistemas de tiempo continuo. ${\ Displaystyle \ Re (p) <0}$ ${\ Displaystyle \ Re (p) = 0}$

Respuesta frecuente

Al establecer $p = i ω$ en la relación entre la variable de Laplace $p$ y la variable $z$ , obtenemos $z = e i ωT = e i θ$ con $θ = ωT$ . Esto explica por qué la respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto, con una función de transferencia $G ( z )$ , es la función . Esta función, definida para todo $θ$ tal que $e$ $i$ $θ$ no es un polo de $G$ $($ $z$ $)$ , es periódica con período $2π$ , y como , las variaciones de $θ$ pueden restringirse al intervalo $[0, π [$ . La variable se llama latido cardíaco normalizado . Si la entrada del sistema es sinusoidal, de pulso normalizado $θ$ (donde $e$ $i$ $θ$ no es un polo de $G$ $($ $z$ $)$ ), es decir (en forma compleja) $u$ $($ $k$ $) =$ $A$ $e$ $i$ $kθ$ , entonces la salida es ( en forma compleja) $y$ $($ $k$ $) = G (e$ $i$ $θ$ $)$ $u$ $($ $k$ $)$ . ${\ Displaystyle \ theta \ mapsto G ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta})}$ ${\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {- i \ theta} = {\ overline {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}}}$ $\ theta$

Función de transferencia de un sistema discretizado

En el modo automático , en la gran mayoría de los casos, un sistema de tiempo discreto $S d$ resulta de la discretización, en un período de muestreo $T$ , de un sistema de tiempo continuo $S c$ con una función de transferencia $G ( p )$ . La salida $y$ del sistema $S c$ se muestrea en el período $T$ , y esto da como resultado la señal muestreada $y * = y ϖ T$ donde $ϖ T$ es el " peine de Dirac ".

{\ Displaystyle \ varpi _ {T} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (t-kT)}

Esta señal $y *$ , que es solo una representación matemática, de hecho contiene a título informativo solo los valores de $y$ en los instantes de muestreo, ya que

{\ Displaystyle y ^ {\ ast} \ left (t \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y (kT) \ delta (t-kT)}

Al establecer $y d ( k ) = y ( kT )$ , la señal discreta $y d$ (que es una secuencia) es la salida del sistema $S d$ que buscamos caracterizar. Esta información discreta es procesada por una computadora, por ejemplo para generar una señal de control discreta $u d$ . Esta señal $u d$ debe someterse a una interpolación para transformarse en una señal de tiempo continuo que pueda actuar sobre el sistema $S c$ . Para obtener un sistema en bucle que funcione en tiempo real, esta interpolación debe ser causal , a diferencia de la interpolación de Shannon (por el teorema de Shannon-Nyquist ). Por lo tanto, procedemos bloqueando la señal discreta $u d$ durante cada período de muestreo. El bloqueador más simple es el de orden cero. La señal muestreada bloqueada (con bloqueador de orden cero) se define por

{\ Displaystyle u_ {b0} (t) = u_ {d} (k), t \ in [kT, (k + 1) T [}

Por tanto, es esta señal $u b 0$ (que de hecho es tiempo continuo, pero que por otro lado es una función discontinua del tiempo ya que es escalonada) la que entra en el sistema $S c$ .

La relación entre $u d$ y $y d$ es lineal y estacionaria. Por tanto, admite una función de transferencia en $z$ , denominada $G d ( z )$ , que tiene en cuenta el bloqueador de orden cero. Mostramos fácilmente que está dado por

{\ Displaystyle G_ {d} (z) = (1-z ^ {- 1}) {\ mathcal {Z}} \ left [{\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ frac {G (p)} {p}} \ right \} \ right]}

donde y denotan respectivamente el Laplace transformar y la transformada Z . $\ mathcal {L}$ ${\ mathcal {Z}}$

Matriz de transferencia

Definición

Los desarrollos que siguen se llevan a cabo para sistemas de tiempo continuo. Evidentemente, están transpuestos a sistemas de tiempo discreto. Considere un sistema multivariable de tiempo continuo, con $m$ entradas $u 1 , ..., T M$ y $Q$ salidas $y 1 , ..., y q$ . Sea $u$ (resp. $Y$ ) la columna formada por $u j$ (resp. $Y i$ ) y (resp. ) La transformada de Laplace monolateral de $u$ (resp. $Y$ ). Con condiciones iniciales cero , existe una relación ${\ Displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ Displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

{\ Displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}

donde $G ( p )$ es una matriz de fracciones racionales, y más precisamente un elemento de donde denota el campo de fracciones racionales en $p$ con coeficientes reales, es decir, el campo de fracciones del anillo de polinomios en $p$ . Esta matriz $G$ $($ $p$ $)$ es la matriz de transferencia del sistema. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} (p) ^ {q \ times m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ mathbb {R}} \ left [p \ right]$

Se dice que esta matriz de transferencia está limpia (resp. Estrictamente limpia ) si todos sus elementos lo están, e inadecuada en caso contrario.

Formulario de Smith-MacMillan

Sea $δ ( p ) \neq 0$ el mínimo común denominador de todos los elementos de la matriz . Por tanto, la matriz $N$ $($ $p$ $) =$ $δ$ $($ $p$ $)$ $G$ $($ $p$ $)$ pertenece a , y como el anillo es principal, el teorema del factor invariante muestra que existen matrices $P$ $($ $p$ $)$ y $Q$ $($ $p$ $)$ , que son invariables en , tal que $Σ ($ $p$ $) =$ $P$ $($ $p$ $)$ $N$ $($ $p$ $)$ $Q$ $-1$ $($ $p$ $)$ es la forma de Smith de $N$ $($ $p$ $)$ . Esta matriz $Σ ($ $p$ $)$ tiene la forma ${\ Displaystyle G (p) \ in \ mathbb {R} (p) ^ {q \ times m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p] ^ {q \ times m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} (p) & 0 && \\ 0 & \ ddots && \\ && \ alpha _ {r} (p) & \\ &&& 0 \\\ end { pmatrix}}}

donde es el rango de on (por lo tanto de $G$ $($ $p$ $)$ on ) y donde $($ $α$ $i$ $($ $p$ $))$ $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r$ son elementos distintos de cero para satisfacer la relación de divisibilidad . Estos elementos $α$ $i$ $($ $p$ $)$ son los factores invariantes de $N$ $($ $p$ $)$ y están determinados de forma única hasta la multiplicación por unidades (es decir, elementos invertibles) de (ver el artículo sobre invariantes del teorema del factor ). Entonces tenemos $r$ ${\ Displaystyle N (p)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ $\ alpha _ {1} \ mid \ alpha _ {2} \ mid \ dots \ mid \ alpha _ {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ Displaystyle G (p) = P ^ {- 1} (p) {\ mathcal {M}} (p) Q (p)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ frac {1} {\ delta (p)}} \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {\ delta ( p)}} \ Delta (p) & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

Finalmente tenemos

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {n_ {1} (p)} {d_ {1} (p)}} & 0 && \\ 0 & \ puntos && \ \ && {\ frac {n_ {r} (p)} {d_ {r} (p)}} & \\ &&& 0 \\\ end {pmatrix}}}

donde las fracciones racionales $n yo ( p ) / d yo ( p )$ son irreductibles. Tenemos las relaciones de divisibilidad y . Los elementos $n$ $i$ y $d$ $i$ para $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r que$ satisfacen estas condiciones se determinan unívocamente desde $G$ $($ $p$ $) hasta$ la multiplicación por unidades de , por lo tanto, la matriz de fracciones racionales es canónica y se llama la forma Smith-MacMillan de $G$ $($ $p$ $)$ . Cabe señalar que el hecho de que $G$ $($ $p$ $)$ sea una matriz de transferencia propiamente dicha (respectivamente. Estrictamente correcta) no implica que las fracciones racionales $n _ {{1}} \ mid n _ {{2}} \ mid \ dots \ mid n _ {{r}}$ $d _ {{r}} \ mid d _ {{r-1}} \ mid \ dots \ mid d _ {{1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (p)}$ $n yo ( p ) / d yo ( p )$ ser.

Polos y ceros de transmisión

Los polos de transmisión (resp. Ceros) del sistema que tiene como matriz de transferencia $G ( p )$ son las raíces en los polinomios $d$ $i$ $($ $p$ $)$ (resp. $N$ $i$ $($ $p$ $)$ ) arriba. Si $p$ $0$ es una raíz de orden $ν$ $i$ de $d$ $i$ $($ $p$ $)$ para $1 \leq$ $i$ $\leq$ $ρ$ , especificaremos que el polo $p$ $0$ tiene para índices estructurales ${$ $ν$ $1$ $, ...,$ $ν$ $ρ$ $}$ . Esta definición es válida para ceros, mutatis mutandis . $\ mathbb {C}$

Considere, por ejemplo, la matriz de transferencia

{\ Displaystyle G (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2}}} & {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2) }} \\ {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2)}} & {\ frac {p + 3} {(p + 2) ^ {2}}} \ end {pmatrix}} }

Tenemos, con las notaciones anteriores, $δ ( p ) = ( p +1) 2 ( p +2) 2$ y

{\ Displaystyle N (p) = {\ begin {pmatrix} (p + 2) ^ {2} & (p + 1) (p + 2) \\ (p + 1) (p + 2) & (p + 1) ^ {2} (p + 3) \ end {pmatrix}}}

Las operaciones elementales en las filas y columnas utilizadas en el teorema del factor invariante permiten obtener para $N ( p )$ la forma de Smith

{\ Displaystyle \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {3} \ end {pmatrix}}}

y la forma Smith-MacMillan de $G ( p )$ es por lo tanto

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {2}}} & 0 \ \ 0 & p + 2 \ end {pmatrix}}}

Por lo tanto, los polos de transmisión son -1 y -2, y ambos tienen el único índice estructural 2. El único cero de transmisión es -2 con el único índice estructural 1. Observamos en este ejemplo que el mismo número complejo (en este caso, -2) puede ser tanto un polo de transmisión como un cero de transmisión, lo que obviamente es imposible en el caso de sistemas monovariables.

Interpretación

Sea $G ( p )$ (resp. $G ( z )$ ) la matriz de transferencia de un sistema de tiempo continuo (resp. Tiempo discreto) y suponga que esta matriz de transferencia es la adecuada. Entonces, el sistema considerado es EBSB estable si, y solo si, sus polos de transmisión están todos ubicados en el semiplano izquierdo (resp. Dentro del círculo unitario).

Para una interpretación más fácil de los ceros de transmisión, asumiremos que $m = q = r$ (un caso al que también siempre podemos reducir). Entonces el número complejo $λ$ es un cero de transmisión si, y solo si, con condiciones iniciales cero, existe una entrada $u$ distinta de cero de la forma (resp. ) , Así como una forma lineal distinta de cero como la combinación lineal es idénticamente nulo. ${\ Displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}$ $k \ mapsto A \ lambda ^ {{k}}$ ${\ Displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle B ^ {\ prime} \ in \ mathbb {C} ^ {1 \ times q}}$ ${\ Displaystyle \ langle B ^ {\ prime}, y \ rangle}$

Funciones de transferencia de sistemas de dimensión infinita

Sistemas de dimensión infinita

La noción de sistema de dimensión infinita sólo puede definirse mediante una negación: se trata de un sistema que no es de dimensión finita. Por tanto, la variedad de estos sistemas es inmensa. La "dimensión" en cuestión aquí es la del espacio de estados, y el hecho de que sea infinita da como resultado el hecho de que la función de transferencia es irracional. No se trata aquí de ser exhaustivo, y la breve presentación que sigue se limita al caso de sistemas lineales, con tiempo continuo y con retrasos conmensurables (distribuidos o no).

Formulaciones algebraicas

Retrasos no distribuidos

Consideremos primero un sistema de la forma

{\ Displaystyle \ sum _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} y ^ {(i)} (tj \ tau) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} u ^ {(i)} (tj \ tau)}

donde el $un ij$ y $B ij$ son coeficientes reales (la $una ij$ no son todos cero) y donde $τ > 0$ es la demora. Preguntando

{\ Displaystyle a (s, z) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

{\ Displaystyle b (s, z) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

la función de transferencia del sistema se escribe $G ( p ) = N ( p ) / D ( p )$ con $N ( p ) = b ( p , e - τp )$ y $D ( p ) = a ( p , e - τp )$ . Por tanto, esta función de transferencia pertenece al cuerpo de las fracciones del anillo , cuyo anillo es isomórfico . Este anillo es factorial según un teorema de Gauss (ver Anillos de polinomios ), por lo tanto $a$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ y $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ tienen un mcd $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ . Los elementos $a '$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $a$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ y $b'$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ son por tanto primos entre sí en , y tenemos $G$ $($ $p$ $) =$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p, {\ rm {e}} ^ {- \ tau p}]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ $N ' ( p ) / D ' ( p )$ con $N ' ( p ) = b' ( p , e - τp )$ y $D ' ( p ) = a' ( p , e - τp )$ .

Los polos de transmisión (resp. Ceros) del sistema se definen como ceros en el plano complejo de $D ' ( p )$ (resp. $N' ( p )$ ).

suponer que

{\ Displaystyle {\ underset {_ {\ left \ vert p \ right \ vert \ rightarrow + \ infty}} {lim}} \ left \ vert G (p) \ right \ vert <\ infty}

Entonces, el sistema es EBSB estable si existe un $ε$ real $> 0$ tal que sus polos de transmisión (que son en general en número infinito) todos tienen una parte real menor que $-ε$ .

Este sistema es observable. Dado que el anillo no es un anillo de Bezout , existen diferentes tipos de controlabilidad. Finalmente, el análisis anterior no se puede generalizar al caso de sistemas multivariados. Por eso es necesario proceder a un cambio de anillo operador, lo que lleva a considerar sistemas de retardo distribuido. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$

Retrasos distribuidos

Considere, por ejemplo, el operador de retardo distribuido definido por $u \ mapsto y$

{\ Displaystyle y (t) = \ int _ {t-1} ^ {t} u (\ tau) d \ tau}

Su función de transferencia es la que puede considerarse como un elemento de donde denota el anillo de funciones completas en el plano complejo. El anillo así definido es muy adecuado para el estudio de sistemas de retardo conmensurables distribuidos. Aunque no es principal, de hecho es un anillo con divisores elementales . Por lo tanto, una matriz de elementos en este anillo admite una forma de Smith, y una matriz de elementos en el cuerpo de fracción de este anillo admite una forma de Smith-MacMillan. La teoría de los sistemas definidos en este anillo es, por tanto, bastante similar (algebraicamente) a la de los sistemas definidos en el anillo clásico de operadores diferenciales . Sin embargo, el número de polos y ceros de transmisión esta vez es generalmente infinito. ${\ Displaystyle {\ frac {1 - {\ rm {e}} ^ {- p}} {p}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbb {R} (p) [{\ rm {e}} ^ {p}, {\ rm {e}} ^ {- p}] \ cap {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [\ parcial]}$

Suponiendo que los elementos $G ij ( p )$ de la matriz de transferencia $G ( p )$ son todos tales que

\ lim _ {{| p | \ flecha derecha \ infty}} | G _ {{ij}} (p) | <\ infty

el sistema es EBSB estable si existe un $ε$ real $> 0$ tal que los polos de transmisión (en general en número infinito) tengan todos una parte real menor que $-ε$ .

Funciones de transferencia de sistemas de coeficientes variables

Caso de sistemas de tiempo continuo

Deje $K$ un campo diferencial con la derivación habitual (por ejemplo, anillo de fracciones racionales complejas), y dejar que $D$ $=$ $K$ $[$ $\partial$ $]$ con el anillo de los polinomios izquierda en $\partial$ con coeficientes en $K$ . Si es una variable, tenemos de acuerdo con la regla de Leibniz , y como esto es cierto, sea lo que sea $f$ que tengamos en $D$ la regla de $a \ mapsto {\ dot {a}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} (t)}$ ${\ mathbf {\ partial =}} {\ frac {d} {dt}}$ ${\ Displaystyle f \ in \ mathbf {D}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ partial} (af) = {\ dot {a}} f + a \ partial f}$

{\ mathbf {\ partial}} aa \ partial = {\ dot {a}}

El anillo $D$ , provisto con esta regla, es un anillo principal simple y no conmutativo. Además, es un anillo de mineral que admite un campo de fracciones $F$ a la izquierda y a la derecha. Cada elemento de $F$ toma la forma $a -1 b = b ' a' -1$ donde $a , a ' , b , b'$ pertenecen a $D$ y $a , a '$ son distintos de cero.

Desde un punto de vista algebraico, un sistema diferencial lineal coeficiente $K$ es una unidad de tipo de acabado en $D$ . Se puede elegir una columna $u$ de $m$ elementos $u$ $i$ in como entrada al sistema si el módulo $D$ $[$ $u$ $]$ $D$ generado por $u$ $i$ está libre de rango $my$ tal que el cociente $M$ $/ [$ $u$ $]$ $D$ es torsional. Denotemos entonces la columna de elementos que representan la salida del sistema. $METRO$ $METRO$ $y$ $q$ $y _ {{i}}$

Considere el functor de Laplace :

{\ mathcal {L}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Las cantidades anteriores a decir que las imágenes canónicas en forma de una base de la $F$ espacio-vector . Por lo tanto, al observar las imágenes canónicas de en , existe una matriz única $G$ $\in$ $F$ $q$ $\times$ $m$ tal que ${\ Displaystyle {\ hat {u}} _ {i} = 1 _ {\ mathbf {F}} \ otimes u_ {i}}$ ${\ hat {M}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} M$ ${\ hat {M}}$ ${\ hat {y}} _ {{i}}$ $y _ {{i}}$ ${\ hat {M}}$

{\ hat {y}} = G {\ hat {u}}

Esta matriz $G$ es la matriz de transferencia del sistema con coeficientes variables.

Caso de sistemas de tiempo discreto

El caso de los sistemas de tiempo discreto se puede tratar de la siguiente manera: esta vez se considera un campo de diferencia , provisto con el operador de avance . Sea el anillo de los polinomios de Laurent izquierdos el $q$ indeterminado (operador de avance que es una extensión de ) provisto con la ley de conmutación . Este anillo $D$ es, como antes, un anillo principal simple y no conmutativo (esta última propiedad da la ventaja de $D$ sobre el anillo de polinomios izquierdos , que es principal pero no simple) y $F$ admite un campo de fracciones $F$ izquierda y derecho. Un sistema de tiempo discreto lineal a ser identificado con un tipo de módulo sobre $D$ . La construcción del párrafo anterior se puede repetir sin cambios, gracias al funtor transformado en Z : ${\ mathbf {K}}$ ${\ Displaystyle \ alpha: x (t) \ mapsto x (t + 1)}$ ${\ mathbf {D}} = {\ mathbf {K}} \ left [q, q ^ {{- 1}}; \ alpha \ right]$ $\alfa$ ${\ Displaystyle qa = \ alpha (a) q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ mathbf {K} [q; \ alpha]}$

{\ mathcal {Z}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Notas y referencias

Notas

Bose 2003
Pommaret 2001 , Zerz 2003
Mitra y Ekstrom 1978
Le Ballois y Codron 2006
Bourlès 2010 , §11.1.4.
Dieudonné 1975 , §22.19
Fliess 1994
Bourlès y Marinescu 2011 , Cap. 11
Véase la relación bilateral entre la transformación y la transformación de la monolateral y la transformada de Laplace .
Bourlès 2010 , Cap. 7.
Bourlès 2010 , §10.3.3
Bourlès 2010 , §2.4.2
MacFarlane y Karcanias 1976
Bourlès 2010 , §2.4.5
MacFarlane y Karcanias 1976 , Schrader y Sain 1989
Curtain y Zwart 1995
Kamen 1980
Bellman y Cooke 1963
Mounier 1995 , Rocha y Willems 1997
Gluesing-Luerssen 2001
Bourlès y Marinescu 2011 , §4.3.1
Bourlès y Marinescu 2011 , §2.5.3
Fliess 1990
Fliess 1989
Bourlès y Marinescu 2011 , § 2.8.3

Referencias

(en) Richard Bellman y Kenneth L. Cooke , Ecuaciones en diferencias diferenciales , Academic Press Inc,1963, 462 p. ( ISBN 0-12-084850-3 )
(en) NK Bose , Teoría y aplicaciones de sistemas multidimensionales , Kluwer Academic Publishers,2003, 292 p. ( ISBN 1-4020-1623-9 )
(es) Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons,2010, 544 p. ( ISBN 978-1-84821-162-9 y 1-84821-162-7 )
(en) Henri Bourlès y Bogdan Marinescu , Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach , Springer,2011, 638 p. ( ISBN 978-3-642-19726-0 y 3-642-19726-4 , leer en línea )
(en) Ruth F. Curtain y Hans Zwart , Introducción a la teoría de sistemas lineales de dimensión infinita , Springer,1995, 716 p. ( ISBN 0-387-94475-3 , leer en línea )
Jean Dieudonné , Elementos de análisis , vol. 6, París, Gauthier-Villars,1975, 197 p. ( ISBN 2-87647-216-3 )
Michel Fliess , " Automático en tiempo discreto y álgebra de diferencias ", Forum Mathematicum ,1989, p. 227-238
(en) Michel Fliess , “ Algunas propiedades estructurales básicas de los sistemas lineales generalizados ” , Systems & Control Letters , vol. 15,1990, p. 391-396
Michel Fliess , “ Una interpretación algebraica de la transformación de Laplace y matrices de transferencia ”, Linear Algebra Appl. ,1994, p. 202-203, 429-442
(en) Heide Gluesing-Luerssen , Sistemas diferenciales de retardo lineal con retardos proporcionales: un enfoque algebraico , Berlín / Heidelberg / Nueva York, etc., Springer,2001, 188 p. ( ISBN 3-540-42821-6 , leer en línea )
(en) EW Kamen , “ Una nota sobre la representación y realización de redes distribuidas agrupadas, sistemas diferenciales de retardo y sistemas 2-D ” , IEEE Trans. Circuitos del sistema , vol. 27,1980, p. 430-432
Sandrine Le Ballois y Pascal Codron , Automático: sistemas lineales y continuos , Paris, Dunod,2006, 2 nd ed. , 300 p. ( ISBN 2-10-049732-4 )
(en) AGJ MacFarlane y N. Karcanias , “ Polos y ceros de sistemas lineales multivariables: un estudio de la teoría algebraica, geométrica y de variables complejas ” , International Journal of Control , vol. 24, n o 1,1976, p. 33-74
(en) SK Mitra y MP Ekstrom (eds.), Procesamiento de señales digitales bidimensionales , Dowden, Hutchingon & Ross,1978( ISBN 0-87933-320-0 )
Hugues Mounier , Propiedades estructurales de los sistemas de retardo lineal: aspectos teóricos y prácticos: Tesis doctoral en Ciencias , Universidad Paris Sud,24 de octubre de 1995
(en) JF Pommaret , Teoría del control diferencial parcial , vol. 1 y 2, Kluwer Academic Publishers,2001( ISBN 0-7923-7037-6 )
(en) P. Rocha y JC Willems , “ Controlabilidad del comportamiento de los sistemas diferenciales de retardo ” , SIAM J. Control Opt. , vol. 35, n o 1,1997, p. 254-264
(en) CB Schrader y MK Sain , “ Investigación sobre ceros de sistema: una encuesta ” , International Journal of Control , vol. 50, n o 4,1989, p. 1407-1433
(en) Eva Zerz , Temas de Teoría de Sistemas Lineales Multidimensionales , Springer,2003, 174 p. ( ISBN 1-85233-336-7 , leer en línea )

Ver también