Simetrización

En matemáticas , la simetrización de un monoide es una operación de construcción de un grupo en la que se proyecta el monoide inicial, de forma natural . A veces hablamos del grupo de Grothendieck del considerado monoide. Este proceso se aplica notablemente para construir el conjunto de enteros relativos a partir del de enteros naturales .

Si el monoide de partida está provisto de una segunda ley de composición que lo convierte en un semianillo conmutativo, su simetrizado es un anillo conmutativo .

Definición

Definición por adición

Cualquier grupo abeliano es en particular un monoide conmutativo, por lo que existe un funtor de olvido de la categoría de grupos abelianos en la categoría de monoides conmutativos. Este funtor admite una G adyacente a la izquierda , que luego satisface la siguiente propiedad universal : para cualquier grupo abeliano K , con un monoide subyacente F (K) , cualquier morfismo de monoides corresponde a un morfismo de grupos . Esto garantiza en particular la unicidad hasta el isomorfismo. $F: {\ mathrm {AGrp}} \ to {\ mathrm {CMon}}$ $A \ a F (K)$ $G (A) \ a K$

Si A es un monoide conmutativo, el grupo G (A) se llama entonces symmetrized de A .

Construcción explícita

Una forma de hacer explícita la definición anterior es considerar el producto monoide , es decir, el producto cartesiano dotado de las operaciones coordenada por coordenada, módulo la relación de equivalencia $A \ veces A$

(a, b) \ sim (a ', b') \ Leftrightarrow \ existe k, a + b '+ k = a' + b + k

Entonces podemos entender un elemento (a, b) del monoide producido como correspondiente al elemento " a - b " del grupo. Por tanto, la clase de equivalencia de (a, a) es identidad y la inversa de (a, b) es (b, a) .

Si el monoide es abeliano y está provisto de una segunda ley que lo convierte en un semianillo conmutativo, la multiplicación en el simétrizado se define mediante la siguiente fórmula:

(a, b) \ cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

Propiedades

Hay un homomorfismo inyectivo de un monoide conmutativo en su simetrización si y solo si el monoide es simplificable .
Si existe un homomorfismo inyectivo de un monoide conmutativo y simplificable en un grupo , entonces el subgrupo de generado por es isomorfo al simétrizado del monoide ( ). A veces se dice que es el grupo más pequeño que contiene . Se notará que este tipo de expresión sería muy desagradable en el caso de un monoide no simplificable, ya que entonces es imposible que exista un morfismo inyectivo de este en un grupo. $\ phi$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle \ phi \ left ({\ mathcal {M}} \ right)}$ ${\ Displaystyle G \ left ({\ mathcal {M}} \ right)}$ ${\ Displaystyle G \ left ({\ mathcal {M}} \ right)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$
Simetrización de Grothendieck se puede extender a conmutativos medias grupos , ya sea por la adición de un elemento neutro , o directamente. En el último caso, el elemento neutro se identificará naturalmente como la clase de pares que contienen los "elementos diagonales". Tenga en cuenta que las dos proposiciones anteriores siguen siendo verdaderas con un medio grupo conmutativo y simplificable.
Existe un análogo de la simetrización de Grothendieck para la construcción de un campo a partir de un anillo integral y conmutativo, entonces hablamos de campos de fracciones .

Ejemplos de

La simetrización del monoide aditivo de enteros naturales es el grupo de enteros relativos: ver construcción de enteros relativos .
La simetrización del monoide multiplicativo de enteros relativos distintos de cero es el grupo multiplicativo de números racionales.
La simetrización de un conjunto totalmente ordenado (no vacío), provisto de la ley inducida por el máximo, se reduce a un punto. Este también es el caso de las leyes de intersección o unión de las partes de un conjunto.
Para cualquier grupo abeliano A , $G (A) \ simeq A$
Sea R un anillo y A el monoide conmutativo formado por las clases de isomorfismos de módulos R proyectivos finamente generados, dotados con la operación . Entonces el symmetrized de K es un anillo conmutativo, y el grupo de unidades es el conjunto de clases de isomorfismo de módulos proyectivas de rango 1, es decir el grupo de Picard de R . $M + N = M \ oplus N$
Si consideramos el monoide formado por las clases de isomorfismos de haces de vectores en un espacio topológico X , siendo inducida la adición por la suma directa , obtenemos un grupo que coincide con el grupo K topológico .

Referencia

(es) Grupo Grothendieck , de PlanetMath