Construcción de números enteros relativos

En matemáticas , la construcción del grupo abeliano de enteros relativos es un ejemplo estándar de simetrización de un monoide conmutativo , en este caso: el monoide de enteros naturales . ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$

La estructura adicional de la relación de anillo y orden solo se esbozará .

Construcción del conjunto Z

Ya sabemos que el conjunto de números naturales, provisto de la ley de adición interna , es un monoide conmutativo; por lo que nuestro objetivo es simplemente agregar un opuesto ( elemento simétrico para la suma) para cada entero distinto de cero. No se trata de agregar de repente un elemento, también es necesario definir la adición. $\ mathbb {N}$

Por eso partiremos de la noción ingenua de entero relativo , que suponemos ya conocido, para construir el objeto matemático correspondiente. Si queremos definir con números naturales, queremos verlo como , o como , o…; en resumen, queremos verlo como la diferencia entre dos números naturales. Esto plantea una dificultad, porque vemos por un lado que la escritura no es única, y por otro lado, que implica una operación, la resta, que no siempre tiene un significado con los números naturales. $-2$ $0-2$ $5-7$

Por tanto, consideraremos pares de enteros, de la forma , y consideraremos que el par corresponde al entero relativo ingenuo ; y como hemos visto que no es razonable tomar enteros relativos como un conjunto, agruparemos las parejas que corresponden al mismo entero relativo ingenuo. $(n_ {1}, n_ {2})$ $(n_ {1}, n_ {2})$ $n_ {1} -n_ {2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$

Para ello, expondremos una relación de equivalencia , por: . Intuitivamente, estamos escribiendo que dos pares son iguales si cuando restamos el segundo número entero del par al primero obtenemos el mismo número entero relativo. Pero solo usamos la suma para definir , por lo que esta definición no usa un objeto ingenuo. ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ $R$ $(n_ {1}, n_ {2}) R (n_ {1} ', n_ {2}') \ Flecha izquierda n_ {1} + n_ {2} '= n_ {1}' + n_ {2}$ $R$

Las relaciones de equivalencia se hacen por cociente ; por tanto definimos: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} = (\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}) / R}$

Definición de la estructura del grupo

Ahora tenemos el conjunto de enteros relativos; queda por definir la adición sobre este último: para eso, solo tenemos la definición sobre los enteros; por lo tanto, primero definiremos una operación sobre pares de enteros, y como será compatible con la relación , dará una operación sobre enteros relativos. $R$

Definimos la suma de dos pares de números enteros de la siguiente manera :; esta operación es conmutativa, asociativa y de elemento neutro sobre los pares de enteros; pasa claramente al cociente, para dar una estructura monoide conmutativa, cuyo neutro es la clase de , formada por parejas . $(n_ {1}, n_ {2}) + (n_ {1} ', n_ {2}') = (n_ {1} + n_ {1} ', n_ {2} + n_ {2}')$ $(0,0)$ $\ mathbb {Z}$ $(0,0)$ $(n, n)$

Sólo queda entonces encontrar un opuesto a cualquier conjunto relativo; pero esto es inmediato: si representa un número entero relativo en los pares de números enteros, es igual a por lo tanto equivalente a . Por tanto, la clase de equivalencia de se opone a la clase de equivalencia de . $(n_ {1}, n_ {2})$ ${\ Displaystyle (n_ {1}, n_ {2}) + (n_ {2}, n_ {1})}$ $(n_ {1} + n_ {2}, n_ {1} + n_ {2})$ $(0,0)$ $(n_ {2}, n_ {1})$ $(n_ {1}, n_ {2})$

Verificación de la extensión

Mostraremos que hay un morfismo monoide inyectivo desde adentro ; de esta forma, podemos ver un entero natural como un caso especial de un entero relativo. Una vez más, es la idea ingenua de los números enteros relativos la que muestra el camino. $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$

Sea un número natural; lo asociamos con la clase de la pareja . Luego vemos que: $no$ $(n, 0)$

${\ displaystyle 0}$ tiene por imagen la clase de , por lo tanto la de enteros relativos; $(0,0)$ ${\ displaystyle 0}$
$n + n '$ , la suma de dos enteros, tiene como imagen la clase de , que es la suma de las clases de y . $(n + n ', 0)$ $(n, 0)$ $(n ', 0)$

Además, podemos ver claramente que esta aplicación es inyectiva, ya que pedir que las clases de y sean iguales es precisamente pedir eso . $(n, 0)$ $(n ', 0)$ $n = n '$

Escritura simplificada de los elementos de Z

Denotemos ( n ; m ) la clase de un par de enteros naturales ( n , m ). Es uno de los siguientes tres tipos:

( d ; 0) si n > m con n = m + d y d no cero
(0; d ) si n < m con n + d = m y d no cero
(0; 0) si n = m

Ahora el conjunto de clases ( d ; 0) es isomorfo a ; por lo tanto, denotamos estas clases en la forma simplificada d . $\ mathbb {N}$

Por otro lado, para d distinto de cero, las clases ( d ; 0) y (0; d ) son opuestas. De hecho, ( d ; 0) + (0; d ) = ( d ; d ) = (0; 0). Por lo tanto, denotamos las clases (0; d ) en la forma simplificada (- d ).

El conjunto vuelve entonces a su forma más clásica . $\ mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ {(- d) \ mid d \ in \ mathbb {N} ^ {*} \}}$

Definición de multiplicación

Entonces podemos definir la multiplicación de la siguiente manera: (siempre inspirándonos en la analogía con enteros relativos ingenuos). $(n_ {1}, n_ {2}) \ veces (m_ {1}, m_ {2}) = (n_ {1} m_ {1} + n_ {2} m_ {2}, n_ {1} m_ { 2} + m_ {1} n_ {2})$

Esta operación establecida en es asociativa, conmutativa, tiene un elemento neutro (1, 0) y es distributiva para la suma definida previamente. Además, es compatible con la relación de equivalencia. Al pasar al cociente, se obtiene una estructura anular unitaria. ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {Z}$

Igualdades

{\ Displaystyle (d, 0) \ times (d ', 0) = (dd', 0)}

{\ Displaystyle (d, 0) \ times (0, d ') = (0, dd')}

{\ Displaystyle (0, d) \ times (0, d ') = (dd', 0)}

permitir escrituras

{\ Displaystyle d \ times d '= dd'}

d \ times (-d ') = (- dd')

(-d) \ veces (-d ') = dd'

que permiten demostrar que el anillo también está intacto.

Definición de la relación de orden

Podemos comprobar fácilmente:

{\ Displaystyle \ mathbb {N} \ cup (- \ mathbb {N}) = \ mathbb {Z} {\ text {et}} \ mathbb {N} \ cap (- \ mathbb {N}) = \ {0 \}.}

Esto, unido al hecho de que es una parte de estable mediante suma y el producto, nos permite demostrar que la relación binaria sobre definido por: $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Z}$

{\ Displaystyle x \ leqslant y \ iff yx \ in \ mathbb {N}}

es una relación de orden total sobre la que se extiende la de , y que es compatible tanto con la suma como con la multiplicación por un elemento positivo . También se puede deducir de esto que una parte de socavado no vacío (resp. Aumentada) tiene un mínimo (resp. A máximo). $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$

Construcciones alternativas

En informática teórica, las herramientas utilizan otros métodos de construcción de números enteros relativos para demostrar automáticamente teoremas y reescribir términos . Los enteros relativos se representan como términos algebraicos construidos a partir de algunas operaciones básicas (por ejemplo , cero , succ , pred ...) y, posiblemente, a partir de enteros naturales que se supone que se han construido previamente según el método de Peano.

Hay al menos diez de tales construcciones de números enteros relativos. Estas construcciones se diferencian en varios puntos: el número de operaciones básicas utilizadas; el número (generalmente entre 0 y 2) y el tipo de argumentos aceptados por estas operaciones; si se utilizan o no números naturales como argumentos para algunas de estas operaciones; el hecho de que estas operaciones sean libres o no, es decir que un mismo número relativo corresponde a uno o varios términos algebraicos.

La técnica de construcción de los enteros relativos por simetrización presentado anteriormente también se corresponde con el caso particular en que sólo tenemos una incluso operación de base que toma como argumentos dos números enteros naturales y y devuelve un entero relativo (igual a ). Esta operación no es gratuita ya que el entero relativo 0 se puede escribir par (0,0), o incluso (1,1), o incluso (2,2), etc. Esta técnica de construcción es utilizada por la asistente de pruebas Isabelle / HOL ; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan diferentes técnicas de construcción, especialmente aquellas con constructores libres que son más simples y se implementan de manera más eficiente en computadoras. $(x, y)$ $X$ $y$ $xy$

Bibliografía

(en) Hubert Garavel (2017). “ Sobre la axiomatización más adecuada de los enteros con signo ” en las actas posteriores del 23º Taller internacional sobre técnicas de desarrollo algebraico (WADT'2016) Notas de conferencia en Ciencias de la Computación 10644 : 120-134 p., Springer ( DOI : 10.1007 / 978-3 -319-72044-9_9 ).