n- esfera
En geometría , la hiperesfera es una generalización de la esfera a un espacio euclidiano de cualquier dimensión . Constituye uno de los ejemplos más simples de variedad y la esfera de dimensión n , o n -esfera , es más precisamente una hipersuperficie del espacio euclidiano , observado en general .
Rno+1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}
Sno{\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
Definición
Sea E un espacio euclidiano de dimensión n + 1, A un punto de E y R un número real estrictamente positivo. HyperSphere llama centro A y el radio R del conjunto de puntos M cuya distancia a A es R .
Dado un sistema de coordenadas ortonormal afín , aunque signifique realizar una traslación , que no cambia nada a las propiedades geométricas, es posible reducir a una hiperesfera centrada en el origen, cuya ecuación se escribe luego
∑I=1no+1XI2=R2{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}
.
Por ejemplo :
- para el caso n = 0, la hiperesfera consta de dos puntos de abscisas respectivos R y - R ;
- para el caso n = 1, la hiperesfera es un círculo ;
- para el caso n = 2, la hiperesfera es una esfera en el sentido habitual.
(Para una parametrización de la hipersuperficie así definida, consulte " Coordenadas hipersféricas ").
Propiedades
Volumen
El volumen (o, más precisamente, la medida de Lebesgue ) del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n - 1 y radio R , que es una bola euclidiana de dimensión n , es igual a:
Vno=πno/2RnoΓ(no/2+1){\ Displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ over \ Gamma (n / 2 + 1)}}
,
donde denota la función gamma . En particular, tenemos:
Γ{\ Displaystyle \ Gamma}
|
n incluso |
n extraño
|
|---|
Vno{\ Displaystyle V_ {n}} |
πno2Rno(no2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}}} |
2(no+1)/2πno-12Rno1⋅3⋅⋯⋅no{\ Displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot no}}}
|
|---|
La siguiente tabla muestra los valores de volumen de las primeras 8 bolas de dimensión ny radio 1:
| no |
Valor de volumen
|
|---|
| exacto |
se acercó
|
|---|
| 1 |
2{\ Displaystyle 2} |
2{\ Displaystyle 2}
|
| 2 |
π{\ Displaystyle \ pi} |
3.14159{\ Displaystyle 3 {,} 14159}
|
| 3 |
43π{\ Displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi} |
4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
|
| 4 |
12π2{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}} |
4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
|
| 5 |
815π2{\ Displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}} |
5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
|
| 6 |
16π3{\ Displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}} |
5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
|
| 7 |
dieciséis105π3{\ Displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}} |
4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
|
| 8 |
124π4{\ Displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}} |
4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}
|
El volumen de dicha bola es máximo para n = 5. Para n > 5, el volumen disminuye a medida que n aumenta y su límite en el infinito es cero:
limno→∞Vno=0{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}
.
El hipercubo circunscrito a la unidad de hiperesfera tiene bordes de longitud 2 y un volumen de 2 n ; la relación entre los volúmenes de una bola y el hipercubo inscrito (de lado ) aumenta en función de n .
2/no{\ Displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}
Área
El área de la hiperesfera de dimensión n −1 y radio R se puede determinar tomando la derivada con respecto al radio R del volumen V n :
Sno-1=DVnoDR=noVnoR=2πno2Rno-1Γ(no2){\ Displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}
.
Sno=2πno+12RnoΓ(no+12){\ Displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}
.
|
n incluso |
n extraño
|
|---|
Sno{\ Displaystyle S_ {n}} |
2no2+1πno2Rno1⋅3⋯(no-1){\ Displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}} |
πno+12Rno12(no-12)!{\ Displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {n- 1} {2}} \ derecha)!}}}
|
|---|
Por lo tanto, la esfera de n unidades tiene para el área:
Sno{\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
2πno+12Γ(no+12) .{\ Displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}
La siguiente tabla muestra los valores del área de las primeras 7 n esferas de radio 1:
| no |
Área Sno{\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
|
|---|
| exacto |
se acercó
|
|---|
| 1 |
2π{\ Displaystyle 2 \ pi} |
6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
|
| 2 |
4π{\ Displaystyle 4 \ pi} |
12.56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
|
| 3 |
2π2{\ Displaystyle 2 \ pi ^ {2}} |
19,73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
|
| 4 |
83π2{\ Displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}} |
26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
|
| 5 |
π3{\ Displaystyle \ pi ^ {3}} |
31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
|
| 6 |
dieciséis15π3{\ Displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}} |
33,07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
|
| 7 |
13π4{\ Displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}} |
32,46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}
|
El área de la esfera de n unidades es máxima para n = 6. Para n > 6, el área disminuye a medida que n aumenta y su límite en el infinito es cero:
limno→∞Sno=0{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}
.
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