Traducción

En geometría , una traslación es una transformación geométrica que corresponde a la idea intuitiva de "deslizamiento" de un objeto, sin rotación , inversión o deformación de este objeto.

En geometría clásica , la noción de traducción está fuertemente ligada a la de vector , al que sigue o precede. Así encontramos la traslación vectorial definida como una transformación que, en cualquier punto M , asocia el punto M ' tal que: $\ vec {u}$

\ overrightarrow {MM '} = \ vec {u}

Decimos que M ' se tradujo del M . Es la imagen de M por esta traducción.

La noción se generaliza en geometría afín , asociada al mapa lineal asociado: una traducción es un mapa afín cuyo mapa lineal asociado es la identidad .

También hablamos de traducción, o movimiento de traducción en física para un movimiento en el que, en todo momento, el sólido mantiene la misma orientación en el espacio. Este movimiento no siempre es recto . Así, el movimiento de una góndola en la gran rueda de una feria es un movimiento de traslación circular (el camino es circular pero la góndola siempre permanece vertical).

Geometría "clásica"

Varios enfoques

En geometría clásica, dependiendo del enfoque, primero se pueden definir los vectores y luego las traslaciones o bien definir los vectores a partir de las traslaciones.

El vector se puede definir como una clase de equivalencia de bipuntos equipollentes : (A, B) y (C, D) son equipollentes si los segmentos [AD] y [BC] tienen el mismo punto medio, es decir si (ABDC) es un paralelogramo (posiblemente plano). En este caso, la traslación vectorial se define como la aplicación que en el punto M asocia el punto M 'tal que $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {MM '} = \ overrightarrow {AB}.$

Según un segundo enfoque, para todos los puntos A y B, y para todo el punto C, existe un único punto D tal que el cuadrilátero ABDC dibuja un paralelogramo posiblemente plano o de lo contrario [AD] y [BC] tienen el mismo punto medio . El mapa que en el punto C asocia el punto D se llama traslación vectorial . Dos vectores son iguales si conducen a la misma traslación. $\ overrightarrow {AB}$

Sin embargo, sea cual sea el enfoque, la traducción está vinculada a la presencia de un paralelogramo. Da como resultado un desplazamiento de toda la figura sin cambiar la dirección, la dirección o las longitudes.

Construir la imagen de una figura mediante una traslación equivale a arrastrarla en una dirección , una dirección y con una longitud determinada.

Nótese finalmente que en el marco del enfoque analítico heredado de Descartes , uno puede inmediatamente ( ver más abajo ) colocarse en un espacio vectorial E (por ejemplo, en R : el plano R 2 o el espacio R 3 ) y definir el vector de traducción tiene que la aplicación que a cada punto x de E asociados apuntan a + x de E .

Propiedades de conservación

Tal deslizamiento no causa deformación ni cambio de disposición, por lo tanto:

en una traslación, se conservan las longitudes, el paralelismo, la perpendicularidad y más generalmente los ángulos;
una traslación transforma una línea en una línea paralela;
mediante una traslación, una figura geométrica se transforma en una figura geométrica isométrica . De hecho, no hay deformación: las dos figuras son superponibles.
Por tanto, la figura no gira sino que realiza un desplazamiento -> un deslizamiento.

Para construir la imagen de una figura geométrica, por lo tanto, solo construimos la imagen de sus puntos característicos: para un segmento, sus extremos, para un triángulo, sus tres vértices, para un círculo, su centro y su radio, etc.

La traslación es la única transformación que deja los vectores invariantes, es decir, de tal manera que

\ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {A'B '}

Composición

La noción de compuesto de traducciones está fuertemente ligada a la noción de suma de vectores, tanto si la precede como si es consecuencia de ella.

El compuesto de dos traducciones vectoriales y es una traducción vectorial . La traducción del vector cero es identidad . Estas propiedades confieren al conjunto de traslaciones provisto de la ley de composición un estatus de grupo conmutativo isomorfo al conjunto de vectores del plano o del espacio. $\ vec {u}$ ${\ vec {vb}}$ $\ vec {u} + \ vec {vec}$

Este grupo es un subgrupo del grupo de viajes .

Una traslación es también el resultado de la combinación de dos reflexiones a lo largo de ejes paralelos: si (d) y (d ') son dos líneas paralelas y si R es un punto de (d), la combinación s de huesos d de las reflexiones de el eje (d) y (d ') es una traslación que transforma R en su simétrico con respecto a (d').

También se puede obtener una traslación componiendo dos homotecias con proporciones opuestas y diferentes centros, o dos rotaciones planas con ángulos opuestos y diferentes centros. Estos hechos explican que encontremos traducciones en el grupo de homotetías-traslaciones y en el de rotaciones-traslaciones.

Generalización a un espacio afín

Un espacio afín se puede definir como asociado con un espacio vectorial. Cualquiera que sea la definición que se considere entonces, la traducción es un componente principal.

Si definimos el espacio afín usando un mapa φ, que con cada bipoint asocia un vector, φ ( AB ) = u , la segunda propiedad que verify debe verificar es la existencia de traslaciones: para cualquier vector u , y cualquier punto M , hay existe un único punto M ' tal que φ (MM') = u . La aplicación que asocia M 'con M se llama traslación del vector u .

Si definimos el espacio afín a partir de una ley externa que, con cada par formado por un punto y un vector ( A , u ) asocia un punto B señalado A + u , la traslación del vector u es una aplicación que, a M, asocia el punto M + u .

El conjunto de traslaciones provisto con la ley de composición interna es un grupo isomorfo a V provisto de la suma de los vectores.

Las traducciones son los mapas afines cuyo mapa lineal asociado es la identidad en V.

Movimiento traslacional

En cinemática, un sólido indeformable está en movimiento de traslación si cualquier segmento que une dos puntos del sólido permanece paralelo a sí mismo durante el movimiento.

La trayectoria del sólido no es necesariamente rectilínea y puede ser curvilínea. Este es el caso de la góndola de una gran rueda, cuyo recorrido es circular, que sufre un movimiento de traslación circular . Un movimiento de traslación puede considerarse como una sucesión de traducciones matemáticas infinitesimales. En cualquier momento, cada punto del sólido tiene el mismo vector de velocidad.

Para dos tiempos t 1 y t 2 , podemos definir una traslación T t1, t2 operando de la siguiente manera: para cualquier punto M del sólido, cuya posición en t 1 es M 1 y cuya posición en t 2 es M 2 , tenemos T t1, t2 (M 1 ) = M 2 .

Además, todos los puntos del sólido tienen trayectorias homólogas, es decir idénticas a una traslación cercana.

Expresiones analíticas de una traducción

Coordenadas cartesianas

En el plano, la traslación vectorial transforma el punto M ( x , y ) en M '( x ', y ') tal que $\ vec {u} (a, b)$

x '= x + a y '= y + b

En el espacio, la traslación vectorial transforma el punto M ( x , y , z ) en M '( x ', y ', z ') tal que $\ vec {u} (a, b, c)$

x '= x + a y '= y + b z '= z + c

De manera más general, en un espacio de dimensión n , la traslación del vector de coordenadas transforma el punto en tal que $\ vec {u}$ $(a_i) _ {i \ in [1, n]}$ $M (x_i) _ {i \ en [1, n]}$ $M '(x'_i) _ {i \ in [1, n]}$

{\ Displaystyle x '_ {i} = x_ {i} + a_ {i}, \ forall i \ in \ {1, n \}}

Expresión compleja

En el plano complejo, la traslación del vector con el afijo complejo t , transforma el punto M con el afijo z en M ' con el afijo z' tal que $\ vec {u}$

z '= z + t

Coordenadas homogéneas

Al trabajar con coordenadas homogéneas , podemos definir una matriz de traslación:

En un espacio afín de dimensión n, la matriz de traslación vectorial es una matriz de dimensión n + 1 definida por: $\ vec {u} (a_i) _ {i \ in [1, n]}$

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 & a_ {1} \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & a_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & a_ {n} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}}. \!}

La redacción de la traducción se convierte entonces en

{\ Displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {M} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 & a_ {1} \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & a_ { 2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & a_ {n} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix} } {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} + a_ { 1} \\ x_ {2} + a_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} + a_ {n} \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {M '}}

Esta escritura permite crear un isomorfismo entre las matrices n + 1 de esta forma y el conjunto de traslaciones en un espacio de dimensión n.

La inversa de dicha matriz se obtiene cambiando el signo del vector:

T ^ {- 1} _ {\ mathbf {v}} = T _ {- \ mathbf {v}}. \!

Asimismo, el producto de las matrices equivale a hacer una suma de vectores:

T _ {\ mathbf {u}} T _ {\ mathbf {v}} = T _ {\ mathbf {u} + \ mathbf {v}}. \!

Y dado que la suma de vectores es conmutativa, el grupo multiplicativo de matrices así creado es un grupo conmutativo.

Notas y referencias

Colectivo, Matemáticas , Retz, coll. "Enciclopedias del conocimiento moderno",1975( leer en línea ) , pág. 298.
Programa universitario de matemáticas, BO n ° 44 del 12 de diciembre de 1985.
Programa de matemáticas de la segunda promoción , BO n ° 30 de 23 de julio de 2009.
Jean Dieudonné , Álgebra lineal y geometría elemental , Hermann ,1964, p. 34.
Jacqueline Lelong-Ferrand y Jean-Marie Arnaudiès , Curso de Matemáticas - Volumen 3, Geometría , Dunod, 1977, p. 12 .
Séverine Bagard, Physique-Chimie 1e S: Tout-en-un, Editions Bréal, 2008, p. 51

Bibliografía

Programa del ciclo central del colegio - BO edición especial n o 1 del13 de febrero de 1997.
Cissé Ba, Estudio epistemológico y didáctico del uso del vector en matemáticas y física - vínculo entre movimiento traslacional y traducción matemática. , Tesis 2007, Leer online