Entero relativo
En matemáticas , un entero relativo es un número que aparece como un número natural al que le hemos agregado un signo positivo o negativo que indica su posición con respecto al 0 en un eje orientado. Los enteros positivos (mayores que cero) se identifican con enteros naturales : 0, 1, 2, 3… mientras que los enteros negativos son sus opuestos : 0, −1, −2, −3… El entero 0 es, por tanto, el único número que tanto positivo como negativo.
Un número real es un entero si no tiene una parte fraccionaria , es decir, si su escritura decimal no incluye un dígito (que no sea cero ) "después del punto decimal".
Los números enteros relativos se utilizan para expresar la diferencia de dos números naturales. Entre otros significados de la diferencia, podemos citar la posición sobre un eje orientado con respecto a un punto de referencia (un eje con posiciones discretas , es decir discontinuo); moverse desde una posición original, en cualquier dirección; o la variación de un valor entero, por lo tanto contado en unidades (variación positiva para una ganancia, negativa para una pérdida).
El conjunto de los números enteros se denota " Z ", mayúscula grasa del texto mecanografiado gradualmente suplantado por la escritura manuscrita con una barra perforada "ℤ". La presencia de un asterisco en superíndice (" Z *") generalmente designa el conjunto de enteros relativos distintos de cero, incluso si esta notación se usa a veces para el conjunto de elementos invertibles de Z , es decir, el par de enteros {−1, 1}. La notación " Z - " designa el conjunto de números enteros negativos. Es más raro encontrar la notación " Z + ", reemplazada por la notación " N " de los números naturales por identificación.
Este conjunto está ( totalmente ) ordenado para la relación de comparación habitual heredada de los números naturales. También está equipado con las operaciones de suma y multiplicación que forman la base de la noción de anillo en álgebra .
Los números enteros relativos también se denominan a veces enteros racionales , un nombre que no debe confundirse con números racionales o fracciones. Este nombre proviene del inglés entero racional y designa un caso particular de enteros algebraicos , construido sobre el campo numérico de los números racionales . Encontramos este nombre en Nicolas Bourbaki y en ciertos matemáticos que forman parte del movimiento de las matemáticas modernas , entre ellos Georges Papy .
Motivación
La razón principal para la introducción de números negativos es la capacidad de resolver todas las ecuaciones de la forma:
un + x = b , donde x es el desconocido y un y b son parámetros.En el conjunto de números naturales, solo algunas de estas ecuaciones tienen solución.
5 + x = 8 si y solo si x = 3 9 + x = 4 no tiene solución en el conjunto de números naturales. Tiene una solución en el conjunto de enteros relativos que es −5.Fragmentos de historia
La primera alusión a los números negativos aparece en textos indios como el Arybhatiya del matemático indio Âryabhata (476-550) donde se definen las reglas de la suma y la resta. Los números negativos luego aparecen como representaciones de deudas y los números positivos como recibos. Unos siglos más tarde, en los escritos del matemático persa Abu l-Wafa (940-998), aparecen productos de números negativos por números positivos. Sin embargo, el número aún permanece vinculado a cantidades físicas y el número negativo tiene poco estatus legal . Al Khuwarizmi (783-850) por ejemplo, en su obra Transposición y reducción prefiere tratar con 6 tipos de ecuaciones cuadráticas en lugar de considerar restas.
En Europa los números relativos aparecen tarde, generalmente atribuimos a Simon Stevin (1548-1620) la famosa regla de los signos para el producto de dos números enteros relativos. El mismo D'Alembert (1717-1783) en la Enciclopedia ve el número relativo como una idea peligrosa.
“Debemos admitir que no es fácil arreglar la idea de cantidades negativas, y que algunas personas inteligentes incluso han contribuido a confundirla por las nociones imprecisas que han dado de ellas. Decir que la cantidad negativa está por debajo de la nada es adelantar algo que no se puede concebir. Aquellos que afirman que 1 no es comparable a -1, y que la razón entre 1 y -1 es diferente de la razón entre -1 y 1, tienen un doble error […] Por lo tanto, realmente no hay una cantidad negativa absolutamente aislada : −3 tomado de forma abstracta no presenta ninguna idea a la mente. "
- D'Alembert, Diccionario razonado de ciencias, artes y oficios, vol. 11
Tenemos que esperar dos siglos más y el advenimiento del formalismo para ver la aparición de una construcción formal del conjunto de enteros relativos a partir de clases de equivalencia de pares de enteros naturales.
Es a Richard Dedekind (1831-1916) a quien debemos esta construcción. Él mismo usó la letra K para designar el conjunto de números enteros relativos. Se utilizaron varias otras convenciones, hasta que Nicolas Bourbaki popularizó el uso de la letra , la inicial del alemán Zahlen (números).
Reglas de funcionamiento
En un número relativo, distinguimos el signo (+ o -) y el valor absoluto : −3 tiene el valor absoluto 3.
Adición
La suma de dos enteros con el mismo signo se obtiene sumando los dos valores absolutos y manteniendo el signo común:
(−3) + (−5) = −8, escritura que se abrevia como −3 - 5 = −8, quitando el signo operativo +.La suma de dos enteros relativos con signos opuestos se obtiene calculando la diferencia entre los dos valores absolutos y asignándole el signo del entero de mayor valor absoluto:
(+3) + (−5) = −2, escribiendo que acortamos a 3 - 5 = −2.Multiplicación
El resultado de una multiplicación se llama producto. El producto de dos números relativos con el mismo signo es siempre positivo (+) y se obtiene tomando el producto de los valores absolutos:
(+3) × (+4) = +12 que acortamos a 3 × 4 = 12 (−3) × (−7) = + 21 = 21(el + no es obligatorio si el producto no es negativo)
El producto de dos números relativos con diferentes signos es siempre negativo (-) y se obtiene tomando el producto de los valores absolutos
(+7) × (−4) = −28Regla de signos
más multiplicado por más , da más producto . menos multiplicado por menos , da al producto más menos multiplicado por más o más multiplicado por menos da al producto menosConjunto de enteros
Construcción
El conjunto Z de enteros relativos puede verse como la simetrización del semianillo N de enteros naturales.
Estructura
El conjunto de enteros relativos, equipados con sus leyes de suma y multiplicación, es el prototipo de la noción de anillo . Incluso es un anillo euclidiano , en referencia a la división euclidiana . Por tanto, también es principal y factorial .
Puede dotarse de la topología discreta asociada a la distancia habitual inducida por el valor absoluto de la diferencia, lo que lo convierte en un espacio métrico completo . Las únicas otras distancias compatibles con la estructura del anillo son las distancias p -ádicas , donde p es un número primo .
El aditivo grupo estructura ( Z , +) es un resistente a la torsión grupo monogénica libre , es decir, un grupo abeliano libre de rango 1.
El conjunto Z está totalmente ordenado para la relación de orden habitual.
Los números enteros relativos forman un conjunto infinito contable .
Extensiones
El conjunto Z de los números enteros se sumerge en todos los números decimales , que se denota D , que en sí es una parte del conjunto de los números racionales señaló Q .
La noción de número entero se extiende mediante la definición de números enteros algebraicos , que son para varios campos de números lo que los enteros relativos son para los campos de números racionales. Los enteros racionales, es decir los enteros algebraicos del campo de los números racionales, son por tanto exactamente los enteros relativos.
Para cada una de las distancias p -adic, de la completado Z es un anillo de enteros p -adic notable Z p , la fracción del cuerpo es el cuerpo de los números p -adic, denotado Q p y que contiene Q .
Usos comunes
Los números relativos son números que se han vuelto relativamente familiares. Se encuentran:
- en ascensores donde, por ejemplo, -2 designará el segundo sótano;
- en termómetros para indicar temperaturas por debajo de 0 ° C ;
- en extractos bancarios donde, por ejemplo, -120 indicará un descubierto de 120 euros.
Notas y referencias
- De esta posición relativa a cero viene el adjetivo "relativo" aplicado a estos números enteros.
- Según algunas convenciones diferentes, vigentes en particular en los países anglosajones, el cero entero no es ni positivo ni negativo ( cf (en) Zero ).
- Del alemán Zahlen , "números".
- Se evita la confusión con el uso de la multiplicación cruzada por exponente: " Z × ".
- GH Hardy y EM Wright ( traducido del inglés por François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introducción a la teoría de los números [“ Introducción a la teoría de los números ”] [ detalle de la edición ], capítulo 12.
- Pero el programa oficial de agregación de matemáticas , y las asignaturas correspondientes, utilizan el nombre más común en Francia "enteros relativos".
- Cf. por ejemplo N. Bourbaki, Elementos de las matemáticas , Álgebra , cap. I, § 2, n o 5 ( p. 28 de una versión antigua disponible en línea ) o Roger Godement , Cours d'Algèbre , § 5, n o 8.
- Paradoja clásica: si -1 <1 entonces las inversas de estos dos números se ordenarían en orden inverso: la inversa de -1 es -1 y la inversa de 1 es 1, por lo tanto -1> 1. de la oración incompleta " las inversas de estos dos números estarían dispuestas en orden inverso ", sería necesario especificar" las inversas de dos números del mismo signo están dispuestas en orden inverso ". Consulte el artículo sobre la función inversa para obtener más información.
- (en) Primeros usos de los símbolos de la teoría de números .