Coaching (análisis)

En matemáticas , el encuadre de un número real , de una función o de una secuencia numérica son los datos, para cada uno de sus valores, de dos desigualdades que especifican un valor más alto y un valor más bajo. Para un número real solo, un marco equivale a dar dos valores aproximados por defecto y por exceso.

Numeración y orden de magnitud

Los primeros marcos que aparecen en la enseñanza de las matemáticas se refieren a los números naturales , identificando los enteros predecesores y sucesores y luego por el marco entre dos decenas consecutivas y, más generalmente, entre dos múltiplos de una potencia de 10 .

Esta práctica continúa con el encuadre de fracciones simples, luego raíces cuadradas, entre dos números enteros consecutivos. Estos ejercicios se basan en particular en el uso de la línea recta graduada .

La determinación de un orden de magnitud para un número real estrictamente positivo se puede definir como un encuadre entre dos potencias de 10.

Aproximación

La supervisión de un real entre dos números enteros consecutivos se puede escribir con una desigualdad formalmente doble utilizando parte entera : . ${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq x <\ lfloor x \ rfloor +1}$

De manera más general, la supervisión por los valores aproximados predeterminados y el exceso de $10 - p$ casi se escribe . ${\ Displaystyle 10 ^ {- p} \ lfloor 10 ^ {p} x \ rfloor \ leq x <10 ^ {- p} (\ lfloor 10 ^ {p} x \ rfloor +1)}$

Esta aproximación justifica el uso de decimales para representar números de manera eficiente con precisión explícita, por ejemplo, en la pantalla de una calculadora .

Aumentar y disminuir

Las suites y funciones reales delimitadas aceptan supervisión continua . En particular, para una función $f que$ aumenta en un intervalo $[a, b]$ , obtenemos el límite para todo $x \in [a, b]$ , $f (a) \leq f (x) \leq f (b)$ .

Las funciones trigonométricas seno y coseno admiten los marcos:

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, -1 \ leq \ sin (x) \ leq 1}

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1}

Para una secuencia recurrente de la cual uno de los términos pertenece a un intervalo $[a, b]$ estable para la función de recurrencia, todos los términos siguientes satisfacen el límite $a \leq u n \leq b$ .

Comportamiento asintomático y convocatoria.

Pero las funciones de encuadre también pueden tener variaciones, como en el teorema de encuadre , para determinar un equivalente o para mostrar la convergencia de una integral .

En álgebra lineal , el encuadre de una norma por múltiplos de otra norma es la definición del hecho de que estas normas son equivalentes .

El encuadre de una secuencia da lugar a un encuadre de la serie asociada, que en ocasiones se utiliza para determinar más fácilmente su comportamiento asintótico , en particular mediante sumas telescópicas .

De manera similar, el encuadre de una función induce un encuadre de su integral por las desigualdades de la media , lo cual es particularmente útil en la comparación de integral de serie para mostrar, por ejemplo, el criterio de convergencia de Riemann en la serie de la forma . Este resultado es similar a las desigualdades de los incrementos finitos que dan un encuadre de las variaciones de un encuadre de la derivada . ${\ Displaystyle \ sum {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}}$

De las suites adyacentes se define una secuencia de fotogramas de su límite común, lo que permite obtener valores aproximados con una precisión explícita, como en el caso de aplicación del criterio de series alternas en la fracción reducida siguiendo una continuación continua o en la definición de media aritmético-geométrica .

Probabilidades y estadísticas

En la teoría de la probabilidad , algunos resultados especifican la probabilidad de un encuadre de una variable aleatoria real, como en la desigualdad de Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admite una expectativa $μ$ y una varianza $V,$ entonces para todo $ε > 0$ ,

{\ Displaystyle \ mathbf {P} (\ mu - \ varepsilon \ leq X \ leq \ mu + \ varepsilon) \ geq 1 - {\ frac {V} {\ varepsilon ^ {2}}}}

Dichos marcos permiten determinar un intervalo de fluctuación para una variable aleatoria real entre dos límites deterministas, o un intervalo de confianza para un parámetro determinista entre dos variables aleatorias.

Notas y referencias

Fin de año esperado en CP para la Educación Nacional en Francia, página 2: "Da tanto oral como escrito el número que sigue y el número que precede a un número dado".
Fin de año esperado en CM1 de Educación Nacional en Francia, página 2: “Ofrece diferentes marcos del mismo número (mil millones, millones, cien mil, decenas de miles, mil, cien, diez)”.
Fin de año esperado en CM1 para Educación Nacional en Francia, página 3.
Fin de año previsto en 4º para la Educación Nacional en Francia, página 2.

Ver también