Segunda derivada

La segunda derivada es la derivada de la derivada de una función , cuando está definida. Permite medir la evolución de las tasas de variación. Por ejemplo, la segunda derivada del desplazamiento es la variación en la velocidad (tasa de cambio de desplazamiento) o aceleración.

Función de una sola variable real

Si la función admite una segunda derivada, decimos que es de clase D 2 ; si además esta segunda derivada es continua, se dice que la función es de clase C 2 .

Clasificación

Si denotamos por $f$ la función, entonces

la derivada se denota $f '$ o ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}}}$
la segunda derivada se denota $f '' = ( f ' ) '$ ("f segundo") o ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} } \ left ({\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} \ right)}$

Representación gráfica

La segunda derivada indica la variación en la pendiente de la curva representativa y permite medir la concavidad local de la curva:

si es positivo en un intervalo, la pendiente aumenta, la curvatura es hacia arriba, se dice que la función es “ convexa ” en este intervalo;
si es negativa en un intervalo, la pendiente disminuye, la curvatura es hacia abajo, se dice que la función es “ cóncava ” en este intervalo;
si es cero, la curva es localmente rectilínea;
si la segunda derivada desaparece y cambia de signo, tenemos un punto de inflexión , la curvatura de la curva se invierte.

Estos valores también permiten dar detalles sobre los extremos locales, caracterizados por la cancelación de la derivada en un punto $x$ :

si $f ' ( x ) = 0$ y $f' ' ( x ) <0$ , $f$ tiene un máximo local en $x$ ;
si $f ' ( x ) = 0$ y $f' ' ( x )> 0$ , $f$ tiene un mínimo local en $x$ ;
si $f ' ( x ) = f' ' ( x ) = 0$ , no podemos concluir.

Función que no admite una segunda derivada

Las funciones que no se pueden diferenciar en un punto no admiten una segunda derivada; a fortiori las funciones discontinuas en un punto;
una primitiva de una función continua no derivable es una función continua y diferenciable, pero no tiene una segunda derivada en los puntos donde la función inicial no es diferenciable; este es en particular el caso de la primitiva de una primitiva de función no continua pero acotada.
- una primitiva doble de la función de signo, ∫∫sgn $\ operatorname {sgn} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -1 &: x <0 \\\; 0 &: x = 0 \\\; 1 &: x> 0 \ end {matrix }} \ derecha.$ ;
  se trata de una doble primitiva . $f: x \ mapsto (x \ veces | x |) / 2$
- la primitiva de una función triangular (diente de sierra), la primitiva doble de una función cuadrada, la primitiva doble de la función entera E, ...

La antiderivada de una función de diente de sierra se puede diferenciar una vez, pero no dos veces.
La segunda primitiva de la función de la parte decimal es diferenciable una vez, pero no dos veces.
La segunda primitiva de la función entera es diferenciable una vez, pero no dos veces.

Generalización