Derivación iterada
En matemáticas , el concepto de derivación iterada extiende el concepto de derivado por repetirla varias veces.
Definición
Sea una función de gusanos definidos en un intervalo (no vacío ni reducido a un punto). Estamos interesados en este artículo en las sucesivas derivadas de esta función.
F{\ Displaystyle f}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}} I⊂R{\ Displaystyle I \ subconjunto \ mathbb {R}}
Primera derivada sobre un intervalo
Cuando la derivada existe para todo , decimos que es "diferenciable ".
F′(X){\ Displaystyle f '(x)}X∈I{\ Displaystyle x \ in I}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}
En este caso, definimos la función :
F′{\ displaystyle f '}
I→R, X↦F′(X){\ Displaystyle I \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto f '(x)}.
Esta función se denomina "función derivada de on " o "función primera derivada de on " y también se indica .
F′{\ displaystyle f '}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F(1){\ displaystyle f ^ {(1)}}
Segunda derivada sobre un intervalo
Cuando es diferenciable en y la función en sí es diferenciable en , su función derivada en , se llama " segunda derivada de en " y nota o . Luego decimos que es "diferenciable dos veces ".
F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F′{\ displaystyle f '}I{\ Displaystyle I}I{\ Displaystyle I}(F′)′{\ Displaystyle (f ')'}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F″{\ displaystyle f ''}F(2){\ Displaystyle f ^ {(2)}}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}
Derivada n- ésima sobre un intervalo
Definimos (sujeto a existencia) las "derivadas sucesivas de on " por la fórmula de inicialización y recurrenciaF{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F(0)=F{\ Displaystyle f ^ {(0)} = f}
∀no∈NOF(no+1)=(F(no))′.{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f ^ {(n + 1)} = {\ bigl (} \, f ^ {(n)} \, {\ bigr)} '.}Para cualquier número natural n , la función se llama la “ n -ésimo (o n- orden ) derivado de en ” función.
F(no){\ Displaystyle f ^ {(n)}}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}
Cuando existe, decimos que es “diferenciable n veces ”. En este caso, todos los derivados sucesivas de orden estrictamente menor que n son continuo sobre , ya que son diferenciable allí; pero no es necesariamente continuo : esto es lo que motiva la definición, dada a continuación, de funciones de clase C n .
F(no){\ Displaystyle f ^ {(n)}}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F(no){\ Displaystyle f ^ {(n)}}I{\ Displaystyle I}
Clase C n
Sea un número natural distinto de cero. Decimos que la función es de clase (o veces continuamente diferenciable) en si es veces diferenciable en y si la función es continua en .
no{\ Displaystyle n}F{\ Displaystyle f}VSno{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}no{\ Displaystyle n}I{\ Displaystyle I}no{\ Displaystyle n}I{\ Displaystyle I}F(no){\ Displaystyle f ^ {(n)}}I{\ Displaystyle I}
De acuerdo con la convención indicada anteriormente , se dice que la función es de clase on si es continua .
F{\ Displaystyle f}VS0{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {0}}I{\ Displaystyle I}I{\ Displaystyle I}
Si denotamos incorrectamente el conjunto de funciones de clase en , notamos que son conjuntos anidados.
VSno{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}VSno{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}I{\ Displaystyle I}VSno{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}
Se dice que la función es de clase (o indefinidamente diferenciable) en si, para todo , es de clase en . De hecho :
F{\ Displaystyle f}VS∞{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {\ infty}}I{\ Displaystyle I}no∈NO⋆{\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {\ star}}F{\ Displaystyle f}VSno{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {n}}I{\ Displaystyle I}
VS∞=⋂no>0VSno.{\ Displaystyle \ mathrm {C} ^ {\ infty} = \ bigcap _ {n> 0} \ mathrm {C} ^ {n}.}
Derivada de orden no entera
Todas las definiciones dadas anteriormente se refieren a una derivación de orden completo. Puede ser interesante estudiar el caso de derivaciones con órdenes no enteros. Este es el tema de una disciplina llamada análisis fraccional y encuentra muchas aplicaciones en ciertos campos de la física que involucran fenómenos de difusión como la acústica , la termodinámica o el electromagnetismo .
no{\ Displaystyle n}
Fórmula de Leibniz
El producto de dos funciones de una variable real y definidas y diferenciables hasta un orden en un intervalo es diferenciable hasta un orden . La fórmula de Leibniz proporciona su orden derivada dada por:
F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}no{\ Displaystyle n}I{\ Displaystyle I}no{\ Displaystyle n}no{\ Displaystyle n}
(Fgramo)(no)=∑k=0no(nok) F(k) gramo(no-k){\ Displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ f ^ {(k)} \ g ^ {(nk) }}donde los números enteros son los coeficientes binomiales .
(nok){\ Displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
Fórmula de Faà di Bruno
El compuesto de dos funciones y respectivamente definido y hasta diferenciable a la orden durante un intervalo de g y g (I) para f es de hasta diferenciable a la orden de más de I ; La fórmula de Faà di Bruno proporciona su orden derivada dada por:
F∘gramo:X↦F(gramo(X)){\ Displaystyle f \ circ g: x \ mapsto f (g (x))}F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}no{\ Displaystyle n}I{\ Displaystyle I}no{\ Displaystyle n}no{\ Displaystyle n}
DnoDXnoF(gramo(X))=∑no!metro1!1!metro1metro2!2!metro2⋯metrono!no!metronoF(metro1+⋯+metrono)(gramo(X))∏j=1no(gramo(j)(X))metroj,{\ Displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum {\ frac {n!} {m_ {1}! \, 1! ^ {m_ {1} } \, m_ {2}! \, 2! ^ {m_ {2}} \, \ cdots \, m_ {n}! \, n! ^ {m_ {n}}}} f ^ {(m_ {1 } + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left (g ^ {(j)} (x) \ right) ^ {m_ {j }},}donde la suma atraviesa todas las n -uplas ( m 1 , ..., m n ) satisfaciendo la restricción:1metro1+2metro2+3metro3+⋯+nometrono=no.{\ Displaystyle 1m_ {1} + 2m_ {2} + 3m_ {3} + \ cdots + nm_ {n} = n. \,}
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