Teorema de Gelfand-Mazur

En la teoría del operador, el teorema de Gelfand-Mazur (demostrado por Israel Gelfand y Stanisław Mazur ) es el siguiente:

Teorema  :  cualquier álgebra de Banach sobre el campo de complejos que sea un campo es isomorfo al campo de complejos.

Demostración

Sea x un elemento distinto de cero de tal álgebra, cuya unidad será denotada por e .

1=‖Xno.X-no‖≤‖X‖no‖X-no‖{\ Displaystyle 1 = \ | x ^ {n} .x ^ {- n} \ | \ leq \ | x \ | ^ {n} \ | x ^ {- n} \ |}

Entonces

‖X-no‖no≥1‖X‖,{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ | x ^ {- n} \ |}} \ geq {\ frac {1} {\ | x \ |}},}

que prueba de acuerdo con la regla de Cauchy que el radio de convergencia de toda la serie

(X-zmi)-1=X-1∑no∈NOznoX-no{\ Displaystyle (x-ze) ^ {- 1} = x ^ {- 1} \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} z ^ {n} x ^ {- n}}

Está terminado.

Sin embargo, esta serie converge en cualquier disco con el centro 0 incluido en el dominio de definición de la función . Por lo tanto, existe un complejo λ tal que x - λ e no es invertible y por lo tanto x = λ e, dado que se supone que el álgebra es un campo, el único elemento no invertible es 0. z⟼(X-zmi)-1{\ displaystyle z \ longmapsto (x-ze) ^ {- 1}}

Nota .

La existencia de un complejo λ tal que x - λ e no es invertible, es decir, de un valor espectral de x , también se puede deducir del hecho de que el espectro de un elemento de un álgebra del complejo de Banach nunca está vacío.

Historia

Mazur anunció en 1938 el siguiente teorema más general:

Cualquier ℝ - normado asociativo división álgebra es isomorfo a ℝ, ℂ o ℍ .

Su prueba, aunque muy concisa, fue demasiado larga para ser aceptada por el editor, pero pasó los detalles a su alumno Wiesław Żelazko  (de) , quien los publicó en 1968.

Por lo tanto, fue Gelfand quien dio, en 1941, la primera prueba publicada del enunciado, pero en su forma simplificada (para un ℂ-álgebra completa) permitiendo el uso de la teoría de funciones holomórficas (con valores en un espacio de dimensión infinito pero reducido al caso habitual por el teorema de Hahn-Banach ).

Notas y referencias

1. S. Mazur, "Sobre anillos lineales", Anales de la Sociedad Matemática Polaca , vol. 17, junio de 1938, pág. 112
2. S. Mazur, "Sobre anillos lineales", CRAS , vol. 207, noviembre de 1938, pág. 1025-1027
3. Pierre Mazet , "  La prueba original de S. Mazur por su teorema sobre álgebras normalizados  ", Boletín de la SMF , vol.  111,enero 2007( leer en línea )
4. en su libro Algebry Banacha (en polaco), traducido al inglés en 1973
5. (de) I. Gelfand, “Normierte Ringe”, en Mat. Sb. , Vuelo. 51, 1941, 3-24
6. Además, las álgebras que él consideraba conmutativas, pero la prueba de este resultado no usaba esta propiedad: ( fr ) James Michael Gardner Fell y Robert S. Doran , Representaciones de * -Álgebras, Grupos localmente compactos y Banach * - Paquetes algebraicos: teoría básica de representación de grupos y álgebras , vol.  1, Prensa académica ,1988, 746  p. ( ISBN  978-0-12-252721-0 , leer en línea ) , pág.  375

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