Equivalencia lógica
En la lógica clásica , dos proposiciones P y Q se llaman lógicamente equivalente o simplemente equivalente cuando es posible deducir Q de P y deducir P de Q . Al calcular proposiciones , esto equivale a decir que P y Q tienen el mismo valor de verdad : P y Q son ambos verdaderos o ambos falsos. La equivalencia lógica a menudo se expresa en la forma si y solo si , en marcos como la enseñanza o la metamatemática para hablar de las propiedades de la lógica en sí, y no del conector lógico que vincula dos proposiciones.
La relación de equivalencia lógica entre proposiciones está estrechamente ligada al conector de equivalencia, a menudo señalado como ⇔ o ↔, que se puede definir (muy generalmente, tanto en lógica clásica como por ejemplo en lógica intuicionista ) como la conjunción de l ' implicación P ⇒ Q (“ Q si P ”) y su recíproco Q ⇒ P ( Q solo si P ), es decir (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
La afirmación de que P ⇔ Q equivale a decir que P y Q son equivalentes. Dicho de otra manera (en lógica clásica), la proposición P ⇔ Q toma el valor “verdadero” cuando P y Q son lógicamente equivalentes, y solo en este caso. En lógica, la relación de equivalencia a veces se indica ≡ (la notación ⇔ o ↔ está reservada para el conector).
En electrónica, una función similar se llama Y inclusiva ; este último está simbolizado por el signo "⊙".
Equivalencia en el lenguaje de las matemáticas
En textos matemáticos, expresamos que dos proposiciones P y Q son equivalentes por:
- P si y solo si Q (a veces abreviado como P sif Q );
- Para P , es necesario y suficiente que Q ;
- Una condición necesaria y suficiente (SNC) para P es Q ;
- P es una condición necesaria y suficiente para Q ;
- P es igual a Q .
Cálculo proposicional
En la lógica clásica, que tiene solo dos valores de verdad, la tabla de verdad del conector de equivalencia es:
| PAG | Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| Real | Real | Real |
| Real | Falso | Falso |
| Falso | Real | Falso |
| Falso | Falso | Real |
La proposición P ⇔ Q es equivalente a:
- ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P implica Q ) y ( Q implica P ));
- ( P ⇒ Q ) ∧ (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P implica Q ) y la contraposición de ( Q implica P ));
- ¬ P ⇔ ¬ Q (equivalencia contrapuesta);
- ( P ∧ Q ) ∨ (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P y Q ) o (no P y no Q )).
Propiedades
La relación de equivalencia lógica, que se indica a continuación, es una relación de equivalencia , a saber:
- P ≡ P (la relación de equivalencia es reflexiva );
- Si P ≡ Q , entonces Q ≡ P (la relación de equivalencia es simétrica );
- Si P ≡ Q y Q ≡ R , entonces P ≡ R (la relación de equivalencia es transitiva ).
Esta relación de equivalencia es compatible con conectores lógicos. Además de la lógica clásica:
- ¬¬P ≡ P.
- Para todo real x distinto de cero e y , tenemos
- La equivalencia ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) (aumentando al cuadrado) no es cierta para todas las x e y reales : por ejemplo, 2 2 = (–2) 2 no implica 2 = –2.
- Para todo real x positivo e y , la siguiente equivalencia es verdadera (elevando al cuadrado)Al elevar al cuadrado, perdemos la información que es mayor que una raíz cuadrada y debe ser positiva y para tener equivalencia debemos sumar la propiedad .
Para demostrar la equivalencia P ⇔ Q , podemos probar la implicación P ⇒ Q y su inversa Q ⇒ P .
Equivalencia entre varias proposiciones
Son tres propuestas P , Q y R .
Para probar las 3 equivalencias P ⇔ Q , Q ⇔ R y P ⇔ R , basta con probar 2 de ellas, o bien, basta con probar las 3 implicaciones:
P ⇒ Q , Q ⇒ R y R ⇒ P .Demostración:
Deje que se establezcan las implicaciones P ⇒ Q , Q ⇒ R y R ⇒ P.
De Q ⇒ R y R ⇒ P deducimos Q ⇒ P .
Desde R ⇒ P y P ⇒ Q deducimos R ⇒ Q .
De P ⇒ Q y Q ⇒ R deducimos P ⇒ R.
Podemos generalizar an proposiciones P 1 , P 2 ,…, P n : para probar que estas proposiciones son equivalentes basta con probar las implicaciones
P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 … P n-1 ⇒ P n y P n ⇒ P 1 .Ejemplos de formulaciones comunes
Considere dos proposiciones y .
- Decimos que es una condición necesaria para si tenemos y se puede traducir como "para que , sea necesario que ".
- Decimos que es una condición suficiente para si tenemos y se puede traducir como "para que , sea suficiente ".
- Decimos que es una condición necesaria y suficiente para si tenemos y si tenemos y se puede traducir como "para que , sea necesario y suficiente que ". Esto equivale a decir que es equivalente a y se anota . Así por conmutatividad de la equivalencia también podemos decir que es una condición necesaria y suficiente para .
