Ecuación de telecomunicaciones

La ecuación de telecomunicaciones , (también llamada ecuación de Friis por los anglosajones ), permite obtener un orden de magnitud de la potencia de radio captada por un receptor ubicado a cierta distancia de un transmisor en el espacio libre . No debe confundirse con la fórmula de Friis , que se utiliza para calcular la figura de ruido de un sistema.

Forma simple de la ecuación

En su forma más simple (caso ideal, sin múltiples caminos), la ecuación de Friis se expresa:

{\ Displaystyle {\ frac {P_ {r}} {P_ {t}}} = G_ {t} G_ {r} \ left ({\ frac {\ lambda} {4 \ pi R}} \ right) ^ { 2}}

o :

$P_ {t}$ es la potencia en vatios (W) entregada a la antena transmisora (pérdidas de adaptación y eficiencia no incluidas)
$P_ {r}$ es la potencia en vatios (W) entregada por la antena receptora (pérdidas de adaptación y eficiencia no incluidas)
${\ Displaystyle G_ {t}}$ es la ganancia lineal de la antena transmisora
${\ Displaystyle G_ {r}}$ es la ganancia lineal de la antena receptora
$R$ es la distancia en metros (m) que separa las dos antenas
$\ lambda$ es la longitud de onda en metros (m) correspondiente a la frecuencia de trabajo

Además, se supone que las antenas están correctamente alineadas en términos de polarización de campo. Todas estas condiciones nunca se cumplen en una comunicación terrestre clásica por obstáculos, reflejos, múltiples caminos, etc.

En la comunicación espacial, incluso si la propagación tiene lugar principalmente en el espacio libre, esta fórmula debe corregirse debido a las atenuaciones atmosféricas y posibles difracciones a bajas incidencias.

Por tanto, la ecuación de Friis simple puede verse como una representación del caso ideal.

Interpretación

Es fácil interpretar esta fórmula, usando la relación entre la ganancia de la antena y su área equivalente (ver Antena de radio ):

${\ Displaystyle S_ {r} = {\ frac {\ lambda ^ {2}} {4 \ pi}} \ cdot G_ {r}}$

La ecuación de Friis entonces expresa simplemente el axioma de la propagación de la onda electromagnética sin pérdidas en el espacio vacío:

En el caso de un emisor isotrópico, la energía emitida se distribuye por tanto sobre la superficie de una esfera de radio : $R$

${\ Displaystyle S = 4 \ pi R ^ {2}}$

Luego, una antena receptora captura la energía en la proporción de su área equivalente a esta área total:

${\ Displaystyle {\ frac {P_ {r}} {P_ {t}}} = {\ frac {S_ {r}} {4 \ pi R ^ {2}}}}$

Si introducimos una antena transmisora no isotrópica con ganancia , la potencia anterior simplemente se multiplica por esta ganancia: ${\ Displaystyle G_ {t}}$

${\ Displaystyle {\ frac {P_ {r}} {P_ {t}}} = {\ frac {S_ {r} G_ {t}} {4 \ pi R ^ {2}}}}$

Esta interpretación elimina el hábito común de creer que la atenuación del espacio libre es proporcional al cuadrado de la frecuencia. Esto solo aparece en la fórmula expresada en ganancia de antena y desaparece si consideramos una antena receptora de superficie fija. Por el contrario, si consideramos dos antenas de superficie fija, la atenuación es proporcional al cuadrado de la longitud de onda.

Teniendo en cuenta las pérdidas de antena

Las antenas son la fuente de pérdidas por desajuste. Por tanto, se puede completar la ecuación anterior:

{\ Displaystyle {\ frac {P_ {r}} {P_ {t}}} = G_ {t} G_ {r} \ left (1- | s_ {11} | ^ {2} \ right) \ left (1 - | s_ {22} | ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ lambda} {4 \ pi R}} \ right) ^ {2}}

con :

${\ Displaystyle s_ {11}}$ es el coeficiente de reflexión en la antena transmisora
${\ Displaystyle s_ {22}}$ es el coeficiente de reflexión en la antena receptora

Teniendo en cuenta las pérdidas por desajuste de polarización

Las antenas transmisoras y receptoras no operan necesariamente con la misma polarización (por ejemplo, polarización circular en la transmisión y polarización rectilínea en la recepción). Además, en el caso de que las dos polarizaciones sean rectilíneas, puede suceder que las direcciones de polarización no estén alineadas. El término se agrega a la fórmula para tener en cuenta este desajuste. La fórmula completa entonces se convierte en: ${\ displaystyle | {\ overrightarrow {u}}. {\ overrightarrow {v}} | ^ {2}}$

{\ Displaystyle {\ frac {P_ {r}} {P_ {t}}} = G_ {t} G_ {r} \ left (1- | s_ {11} | ^ {2} \ right) \ left (1 - | s_ {22} | ^ {2} \ right). | {\ overrightarrow {u}}. {\ overrightarrow {v}} | ^ {2} \ left ({\ frac {\ lambda} {4 \ pi R}} \ derecha) ^ {2}}

Expresión logarítmica

En los cálculos de presupuesto de enlace de radio, la ecuación de Friis se reemplaza comúnmente por su expresión logarítmica en decibelios:

Potencia recibida (dBm) = Potencia transmitida (dBm) + Ganancias de antena ( dB ) - Pérdidas de espacio (dB) - Varias pérdidas (dB)

Dado que los decibelios son una unidad logarítmica, esto equivale a un producto.

{\ Displaystyle P_ {r} = P_ {t} + G_ {t} - \ alpha -p_ {varios} + G_ {r} \,}

con :

$P_ {r}$ = Potencia recibida (dBm)
$P_ {t}$ = Potencia transmitida (dBm)
${\ Displaystyle G_ {t}}$ = Ganancia de la antena de transmisión (dBi)
${\ displaystyle p_ {varios}}$ = varias pérdidas (dB)
$\alfa$ = pérdida de propagación (dB)
${\ Displaystyle G_ {r}}$ = Recibir ganancia de antena (dBi)

El término de varias pérdidas se puede dividir en pérdidas de línea, pérdidas por desajuste, despolar de transmisión y recepción, filtrado, despolarización, etc. dependiendo del detalle del sistema estudiado.

La pérdida de propagación se puede expresar de varias formas, comenzando por:

${\ Displaystyle \ alpha = -20 * \ log \ left ({\ frac {\ lambda} {4 \ pi R}} \ right)}$ .

O en unidades actuales:

$\alfa$ (dB) = 32,45 dB + 20 * log [frecuencia (MHz)] + 20 * log [distancia (km)]

Teniendo en cuenta múltiples caminos

En el espacio libre, el término debilitamiento se expresa de manera simple . Si la onda se refleja en obstáculos durante su propagación (paredes, edificios, etc.), escriba: ${\ Displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {\ lambda} {4 \ pi R}} \ right) ^ {2}}$ $NO$

{\ Displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {\ lambda} {4 \ pi R}} \ right) ^ {2} \ left | 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ Gamma _ {n} {\ frac {R} {R_ {n}}} e ^ {- j {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} (R_ {n} -R)} \ right | ^ {2} }

o :

${\ Displaystyle \ Gamma _ {n}}$ es el coeficiente de reflexión sobre el obstáculo $no$
$R$ es la longitud del camino directo
$R_ {n}$ es la longitud del camino $no$

Notas y referencias

people.deas.harvard.edu, Wireless Communication , " Radio Propagation Models "