Ecuación de Schwinger-Dyson

La ecuación de Schwinger-Dyson , según Julian Schwinger y Freeman Dyson , es una ecuación de la teoría cuántica de campos . Dada una función limitada F en las configuraciones de campo, entonces para cualquier vector de estado (que es una solución de la teoría cuántica de campos), existe: ${\ Displaystyle | \ psi>}$

{\ Displaystyle <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {{\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} F [\ phi] \} | \ psi> = - i <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {F [\ phi] {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} S [\ phi] \} | \ psi>}

con S la función de acción y la operación de ordenación del tiempo. ${\ mathcal {T}}$

De la misma manera, en la formulación del estado de densidad , para cualquier estado (válido) ρ, existe:

{\ Displaystyle \ rho ({\ mathcal {T}} \ {{\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} F [\ phi] \}) = - i \ rho ({\ mathcal {T}} \ {F [\ phi] {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi}} S [\ phi] \})}

Estas ecuaciones infinitas se pueden utilizar para resolver funciones de correlación, sin perturbaciones.

También se puede reducir la acción S separándola: S [φ] = 1/2 D -1 ij φ i φ j + S int [φ] siendo el primer término la parte cuadrática y D -1 un tensor covariante simétrico y reversible (antisimétrico para fermiones ) de rango 2 en notación deWitt . Las ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente manera:

{\ Displaystyle <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {F \ phi ^ {j} \} | \ psi> = <\ psi | {\ mathcal {T}} \ {iF _ {, i} D ^ {ij} -FS_ {int, i} D ^ {ij} \} | \ psi>}

Si F es una función de φ, entonces para un operador K , F [ K ] se define como un operador que reemplaza K por φ. Por ejemplo, si

{\ Displaystyle F [\ phi] = {\ frac {\ parcial ^ {k_ {1}}} {\ parcial x_ {1} ^ {k_ {1}}}} \ phi (x_ {1}) \ cdots { \ frac {\ parcial ^ {k_ {n}}} {\ parcial x_ {n} ^ {k_ {n}}}} \ phi (x_ {n})}

y que G es una función de J , entonces:

{\ Displaystyle F [-i {\ frac {\ delta} {\ delta J}}] G [J] = (- i) ^ {n} {\ frac {\ parcial ^ {k_ {1}}} {\ parcial x_ {1} ^ {k_ {1}}}} {\ frac {\ delta} {\ delta J (x_ {1})}} \ cdots {\ frac {\ parcial ^ {k_ {n}}} { \ parcial x_ {n} ^ {k_ {n}}}} {\ frac {\ delta} {\ delta J (x_ {n})}} G [J]}

Si hay una función analítica Z (llamada función generadora ) de J (llamada campo fuente) que satisface la ecuación:

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta ^ {n} Z} {\ delta J (x_ {1}) \ cdots \ delta J (x_ {n})}} [0] = i ^ {n} Z [0 ] <\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n})>}

entonces la ecuación de Schwinger-Dyson para el generador Z es:

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta \ phi (x)}} [- i {\ frac {\ delta} {\ delta J}}] Z [J] + J (x) Z [J ] = 0}

Al desarrollar esta ecuación en serie de Taylor para J cercano a 0, se obtiene el conjunto completo de ecuaciones de Schwinger-Dyson.