Ecuación de Schrödinger semilineal

La ecuación de Schrödinger semilineal es una ecuación que comprende un término lineal de tipo ecuación de Schrödinger y un término de reacción no lineal :

{\ Displaystyle i {\ partial u (t, x) \ over \ partial t} + \ Delta u (t, x) + f (t, x, u (t, x)) = 0.}

Modelización

La ecuación de Schrödinger semilineal se utiliza en muchas áreas de la física: propagación de ondas, óptica no lineal, modelos láser, modelos de plasma, etc.

Enfocando la ecuación cúbica de Schrödinger

{\ Displaystyle i {\ parcial u (t, x) \ sobre \ parcial t} + \ Delta u (t, x) + | u (t, x) | ^ {2} u (t, x) = 0. }

El hamiltoniano asociado es:

{\ Displaystyle H (u) = \ int \ left ({1 \ over 2} | {\ overrightarrow {\ nabla}} u (t, x) | ^ {2} - {1 \ over 4} | u (t , x) | ^ {4} \ right) dx.}

Desenfoque de la ecuación de Schrödinger cúbica

{\ Displaystyle i {\ parcial u (t, x) \ sobre \ parcial t} + \ Delta u (t, x) - | u (t, x) | ^ {2} u (t, x) = 0. }

El hamiltoniano asociado es:

{\ Displaystyle H (u) = \ int \ left ({1 \ over 2} | {\ overrightarrow {\ nabla}} u (t, x) | ^ {2} + {1 \ over 4} | u (t , x) | ^ {4} \ right) dx.}

Soluciones

Las soluciones a la ecuación de Schrödinger son soluciones particulares del tipo: . ${\ Displaystyle u (t, x) = Q (x) e ^ {i \ omega t}}$

En la dimensión 1, la ecuación cúbica de Schrödinger es integrable y se puede resolver con un método de difusión inversa. En particular, la interacción de dos soluciones es explícita.

Bibliografía

Introducción a las ecuaciones de Schrödinger no lineales , J. Ginibre, curso DEA 1994-1995.
Ecuación de Schrödinger no lineal.
Transformada de dispersión inversa.