Ecuación de Schröder

La ecuación de Schröder es una ecuación funcional con una variable, lleva el nombre del matemático Ernst Schröder .

Sea una función h y una constante s tal que s ≠ 0 y s ≠ 1, encuentre la función f tal que:

F(h(X))=sF(X){\ Displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

{\ Displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

La ecuación de Schröder es la ecuación del valor propio del operador de composición C h que asocia una función f con la función compuesta f • h. Desempeña un papel fundamental en el campo de las ecuaciones funcionales: es una ecuación lineal simple y sus soluciones se utilizan a menudo en la construcción de soluciones a ecuaciones más complicadas. Se puede utilizar para calcular raíces cuadradas funcionales .

Soluciones

Aplicaciones

Linealización de ecuaciones funcionales

Sea una ecuación funcional lineal de la forma:

F(gramo(X))=h(X)F(X)+F(X){\ Displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

{\ Displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

donde f : I → I es desconocida, g , h , F son conocidos y g ( I ) incluidos en I .

Si la función σ es la solución de la ecuación de Schröder para la función gy la constante s , entonces el cambio de variable:

{y=σ(X)F¯(y)=F(X){\ Displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

conduce a la siguiente ecuación, que es más fácil de resolver:

F¯(sy)=h¯(y)F¯(y)+F¯(y){\ Displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)} ${\ Displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)}$ Con . ${\ Displaystyle {\ bar {h}} (y) = h (\ sigma ^ {- 1} (y)), \; {\ bar {F}} (y) = F (\ sigma ^ {- 1} (y))}$

Relación con otras ecuaciones funcionales

La ecuación de Schröder pertenece a la familia de ecuaciones de conjugación ( "ecuaciones conjugadas" ) de la forma:

F(h(X))=H(F(X)){\ Displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

{\ Displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

de la misma forma que las ecuaciones de Abel y Böttcher .

Ver también

Referencias

(de) Schröder, Ernst, “ Ueber iterirte Functionen ” , Matemáticas. Ann , n o 3 (2)1870, p. 296–322 (doi: 10.1007 / BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Introducción a ecuaciones funcionales. ,2010( leer en línea ) , página 247