Ecuación de Mathieu

En la física matemática , llamado Mathieu ecuación una ecuación mostrada por Emile Mathieu en el XIX ° siglo .

Este es un caso especial de la ecuación de Hill : donde es una función periódica, con: ${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + G (t) x = 0}$ $G (t)$

{\ Displaystyle G (t) = a-2q \ cos (2t)}

, periódica con período

T = π

Su comportamiento es bastante particular (resonancia paramétrica, existencia de subarmónicos, etc.). Émile Mathieu la conoció (1865) mientras estudiaba las vibraciones de una membrana elíptica.

Sus soluciones se llamarán funciones de Mathieu .

GW Hill , en su Teoría de la Luna, también estudiará una ecuación similar.
G. Floquet también estudiará el comportamiento de estas soluciones (noción de exponentes de Floquet )
Félix Bloch , en 1930, reutilizará estos resultados en la física del sólido cristalino (por tanto con coeficientes periódicos): hablamos de "funciones de Bloch en el espacio de la" k "" de la zona de Brillouin .
El péndulo paramétrico (el botafumeiro por ejemplo) también entra en esta ecuación.
Los cristales fotónicos han actualizado estos estudios.

enlaces externos

(en) Émile Mathieu , " Memoria sobre el movimiento vibratorio de una membrana elíptica " , Revista de matemáticas puras y aplicadas ,1868, p. 137-203 ( leer en línea )
(en) Eric W. Weisstein , " Función Mathieu " , en MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , " Mathieu Differential Equation " , en MathWorld