Propiedad local

Decimos de cierta propiedad matemática que se verifica localmente en un punto de un espacio topológico si existe un sistema fundamental de vecindades de ese punto en el que la propiedad es verdadera.

Decimos de una determinada propiedad matemática que se verifica localmente si se verifica localmente en cualquier punto del espacio topológico considerado.

Esta noción se encuentra en todas las áreas de las matemáticas que utilizan topología , especialmente en el análisis .

A menudo, es suficiente que la propiedad sea verdadera para un vecindario del punto para que sea verdadera localmente en este punto, por ejemplo:

Decimos que una función definida en un espacio topológico admite en un punto de un máximo local si existe una vecindad de tal que es el mayor valor de on ; ${\ Displaystyle \ f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ X}$ $\ a$ ${\ Displaystyle \ X}$ $\ V$ $\ a$ ${\ Displaystyle \ f (a)}$ $\ f$ $\ V$
Decimos que un espacio topológico es localmente compacto si está separado y si cada uno de sus puntos tiene una vecindad compacta .

Sin embargo, esto es generalmente incorrecto, por ejemplo:

No podemos decir que la función sea localmente ilimitada en el punto con el pretexto de que no está limitada (que es una vecindad del punto considerado); ${\ Displaystyle \ x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ ${\ Displaystyle \ x = 1}$ ${\ Displaystyle \] 0.2 [}$
Existen espacios conectados que no están conectados localmente en un punto, por ejemplo, se puede tomar la adhesión del gráfico de , en y el punto . Sin embargo, todo el espacio es un vecindario conectado de este punto. ${\ Displaystyle \ x \ mapsto \ sin {\ frac {1} {x}}, x> 0}$ ${\ Displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ (0,1)}$

Esta expresión también está involucrada en la teoría de grupos : se dice que un grupo verifica localmente una propiedad si todos sus subgrupos terminan la verificación. Por ejemplo, un grupo es localmente nilpotente (en) si todos sus subgrupos generados finitamente son nilpotentes ; es localmente finito (en) si todos sus subgrupos generados finitamente son finitos .

Ver también