En matemáticas , y más precisamente en aritmética elemental , el teorema de Bachet-Bézout o identidad de Bézout es resultado de la aritmética elemental , lo que prueba la existencia de soluciones a la ecuación diofántica lineal :
ax + por = pgcd ( a , b )de incógnitas x y Y números enteros relativos , donde un y b son enteros coeficientes relativos y donde gcd ( a , b ) es el máximo común divisor de un y b .
El teorema de Bézout afirma que el conjunto tiene y b son primos entre si y sólo si la ecuación ax + by = 1 tiene soluciones.
En la equivalencia del "teorema de Bézout", el significado recíproco - el "si" - es evidente ( ver más abajo ).
La primera demostración conocida actualmente del significado directo - el "sólo si" - se debe a Claude-Gaspard Bachet de Méziriac . Aparece en la segunda edición de su obra Problemas agradables y deliciosos que se hacen por números , publicada en 1624.
En la 18 ª siglo, el matemático Étienne Bézout generalizar este resultado, incluyendo polinomios .
Bourbaki , en los Elementos de Historia de las Matemáticas , establece el resultado en cualquier anillo principal y le da el nombre de "teorema de Bézout" .
Teorema de Bachet-Bézout (o Identidad de Bézout) - Que un y b sean dos enteros relativos. Si d es el MCD de un y b , entonces hay dos enteros relativos x y y de tal manera que ax + by = d .
El teorema de Bézout - dos enteros relativos a y b son primos entre sí (si y) sólo si hay dos números enteros relativos x y Y tal que ax + by = 1.
Soluciones infinitasLos dos teoremas aseguran la existencia de un par de números enteros tales que ax + by = pgcd ( a , b ) . Las demostraciones a continuación proporcionan solo una solución, pero generalmente hay muchas otras.
Por ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, y podemos escribir (–3) × 12 + 1 × 42 = 6 pero también 4 × 12 + (–1) × 42 = 6.
A partir de un par de soluciones ( x 0 , y 0 ) , es fácil demostrar que también tenemos: donde k puede variar en ℤ.
Vínculo entre los dos teoremasEl segundo teorema - sin el significado recíproco que, como ya se dijo, es inmediato ( ver más abajo ) - es el caso particular d = 1 del primero.
Por el contrario, el primero se deduce del segundo observando que a = da ' y b = db' con a ' y b' números primos primos entre ellos, y que a'x + b'y = 1 entonces da como resultado ax + by = d . Este vínculo también permite demostrar que xey son coprimos en las dos ecuaciones. Por lo tanto, podemos estar satisfechos con demostrar uno u otro.
Prueba del primer teoremaEl algoritmo euclidiano extendido , al proporcionar una solución de par de números enteros de la ecuación ax + by = pgcd ( a , b ), demuestra el primer teorema. También podemos, al razonar sobre el entero más pequeño estrictamente positivo de la forma ax + by , dar una prueba más cercana a la que se usará en los anillos principales .
Prueba directa del segundo teoremaUna demostración menos constructiva del segundo teorema consiste en considerar el grupo de invertibles módulo a , es decir el grupo de unidades del anillo ℤ / a ℤ . De hecho, suponiendo que b es primo con una , mostrando que hay dos enteros x e y de tal manera que por = 1 - ax cantidades a mostrar que b es invertible módulo una .
Para ello, consideramos el mapa “ producido por b ”, de ℤ / a ℤ en sí mismo. Este mapa es inyectivo porque si b y = b z entonces b ( y - z ) es divisible por a por lo tanto y - z también (según el lema de Gauss ), de modo que y = z . Como ℤ / a ℤ es un conjunto finito , deducimos de esta inyectividad que el mapa es sobreyectivo . El antecedente de 1 proporciona entonces una inversa para b módulo a .
Deje una y ayb dos números enteros relativos.
El teorema de Bachet-Bézout está involucrado en muchas áreas de la teoría de números . Interviene en
Teorema - Dados los enteros relativos a 1 ,…, a n no todos cero yd su MCD , existen enteros relativos x 1 ,…, x n tales que d = x 1 a 1 +… + x n a n .
Los enteros a 1 ,…, a n son coprimos (como un todo) si y solo si existen enteros relativos x 1 ,…, x n tales que 1 = x 1 a 1 +… + x n a n .
En otras palabras, cuando los a k no son todos cero, el MCD de a 1 ,…, a n es el número entero estrictamente positivo más pequeño que se puede escribir como una combinación lineal con coeficientes enteros de a 1 ,…, a n .
La identidad de Bézout generaliza a todos los polinomios en una indeterminada más de un campo conmutativa K .
Teorema - Dado P 1 ,…, P n polinomios de K [ X ] y Δ un MCD de P 1 ,…, P n , existen A 1 ,…, A n , polinomios de K [ X ], tales que Δ = A 1 P 1 +… + A n P n .
Los polinomios P 1 ,…, P n son coprimos (como un todo) si y solo si existen A 1 ,…, A n , polinomios de K [ X ], tales que 1 = A 1 P 1 +… + A n P n .
La identidad de Bézout se puede escribir no solo en el anillo de los números enteros relativos, sino también en cualquier otro anillo principal . (Tenga en cuenta que en este caso, el divisor común "mayor" se entiende solo en el sentido de la relación de preorden proporcionada por la divisibilidad en el anillo; la unicidad de la MCD se mantiene solo en un factor invertible cerca de l 'anillo.) Es decir, si a es un anillo principal y un y b son elementos de a , entonces hay una mayor común divisor d de un y b y de los elementos de x y y en a , tal como d = ax + by .
Esta propiedad resulta del hecho de que el ideales aA + bA generada por una y b es director . De hecho, cualquier generador d de AA + bA es un común divisor de un y b (ya que una y B pertenecen a AA + bA ), y es "el" más grande en el sentido de la divisibilidad, que es - decir que cualquier común divisor c divide a d (ya que c divide cualquier elemento de aA + bA ).
La identidad de Bachet-Bézout dio lugar a una clase de anillos: se dice que un anillo A es Bézout si cualquier ideal de tipo finito de A es principal (pero el anillo puede contener posiblemente ideales que no son de tipo terminado). En otras palabras, A es de Bézout si dos elementos a , b de A siempre tienen un MCD , y si éste siempre se puede escribir en la forma xa + yb (para algunos elementos x , y de A ).