Geometría proyectiva

En matemáticas , la geometría proyectiva es el campo de la geometría que modela las nociones intuitivas de perspectiva y horizonte . Estudia las propiedades inalteradas de las figuras mediante proyección central .

Consideraciones históricas

El matemático y arquitecto Girard Desargues fundó la geometría proyectiva en su Anteproyecto de un Ataque a los eventos de los encuentros del cono con un plano publicado en 1639, donde lo utilizó para una teoría unificada de las cónicas . Pero nosotros, los conceptos ya proyectivas en las obras de Pappus de Alejandría ( IV ª  siglo ) que introdujo la razón doble y se refiere a Apolonio de Perga . El trabajo de Desargues tuvo poco éxito en su tiempo y fue olvidado hasta su redescubrimiento por el editor y bibliófilo Poudra medio del XIX °  siglo . Sus contemporáneos no comprendieron la profundidad de su trabajo, a excepción del joven Blaise Pascal , quien los continuó, y en particular demostró un teorema cercano al que hoy se llama teorema de Pascal .

Poncelet reinventa la geometría proyectiva al inicio de la XIX ª  siglo , sin duda influenciado por la geometría descriptiva impartida por un profesor de la Politécnica , Gaspard Monge . En 1822 publicó el Tratado de propiedades geométricas de las figuras . Independientemente, otro alumno de Monge, Joseph Gergonne, también descubrió al mismo tiempo algunos de los principios de la geometría proyectiva. Poncelet y Gergonne, por diferentes medios, destacan el principio de dualidad , específico de la geometría proyectiva, donde, por ejemplo, dos líneas distintas del plano son siempre secantes.

August Ferdinand Möbius en 1827 introdujo coordenadas homogéneas que permiten aplicar los métodos de la geometría analítica a la geometría proyectiva, trabajo al que también se dedica Julius Plücker . Al mismo tiempo, Jakob Steiner está desarrollando el enfoque de geometría sintética .

Pero fue Félix Klein quien a finales del XIX °  siglo, aclara la relación entre la geometría proyectiva y la geometría euclidiana . Bajo la influencia de su programa Erlangen tiene lugar una importante evolución conceptual; mientras que, hasta entonces, la geometría era la ciencia de las figuras, se convierte en el estudio de las transformaciones de las figuras: los geómetras del cambio de siglo ahora se centran en la composición de las transformaciones , la estructura de ciertos grupos de transformaciones, las invariantes de tales o tal familia de transformaciones, los axiomas mínimos que permiten estas propiedades de transformaciones.

Hoy en día, algunas nociones básicas de geometría proyectiva se utilizan en sistemas de representación gráfica y de visión por computadora , como OpenGL .

Descripción básica

En un enfoque resultante del programa de Erlangen , la geometría proyectiva se distingue de la geometría euclidiana ordinaria por estar únicamente interesada en el estudio de lo que, en las figuras, permanece inalterado después de la proyección, mientras que la geometría euclidiana es el estudio de lo que permanece invariante después del desplazamiento (uno también puede verlo como la ciencia de las figuras que se dibujan con una regla y un compás); desde este punto de vista, la geometría proyectiva tiene menos axiomas que la geometría euclidiana y, por tanto, es más general.

Geometría proyectiva ignora líneas paralelas, perpendiculares líneas , isometrías , círculos , derecha triángulos , isósceles , equilátero , etc. ; también se puede decir, por ejemplo, que para ella círculos, elipses e hipérbolas constituyen una sola figura.

Es posible, utilizando ciertas convenciones del lenguaje (por ejemplo, llamando a dos líneas paralelas que se cruzan en una línea elegida del plano) para encontrar los resultados de la geometría afín a partir de los de la geometría proyectiva (ver más abajo ), e introduciendo los números complejos , para encontrar también los de geometría euclidiana.

Axiomas de geometría proyectiva

Se han enunciado varios sistemas de axiomas sobre la base de la geometría proyectiva, en particular por Enriques , Coxeter y Rossier, que presentan sólo ligeras diferencias. Los fundamentos son los puntos. Las líneas y los planos son ciertos conjuntos de puntos. Existe una relación ternaria, denominada de orden cíclico , entre los puntos pertenecientes a una misma recta o entre los planos que pasan por la misma recta o entre las rectas pertenecientes a un mismo plano y que pasan por el mismo punto.

Axiomas de incidencia

Axioma I1 : Existe al menos una línea recta y un punto que no pertenece a esta línea recta.

Axioma I2 : A cualquier recta pertenecen al menos tres puntos.

Axioma I3 : Dados dos puntos distintos, hay una línea recta y solo una a la que pertenecen estos dos puntos.

Axioma I4 : Si ABC y D son cuatro puntos distintos de modo que las líneas AB y CD contienen un punto común, entonces las líneas AC y BD contienen un punto común.

Definición : dados tres puntos AB y C, llamamos plano ABC, el conjunto de puntos pertenecientes a una línea que contiene el punto C y que contiene un punto en común con la línea AB.

Axioma I5 : Para cualquier plano ABC, existe al menos un punto que no pertenece al plano ABC.

Axioma I6 : Dos planos distintos contienen al menos dos puntos comunes distintos.

Ordenar axiomas

Definición : Agrupamos bajo la forma del nombre del primer tipo : - un conjunto de todos los puntos que pertenecen a la misma línea recta, conjunto llamado línea de puntos , - un conjunto de todos los planos que contienen la misma línea recta, llamado paquete de planos , - un conjunto de todas las líneas que pertenecen al mismo plano y que pasan por el mismo punto de este plano, un conjunto llamado conjunto de líneas .

Axioma O1 : En cualquier forma de la primera clase existen dos relaciones ternarias inversas, de modo que, cualesquiera que sean los elementos AB y C, el triplete (A, B, C) satisface una y solo una de estas dos relaciones, llamado orden ABC.

Axioma O2 : cualesquiera que sean los tres elementos A, B y C de la forma, el orden ABC es una relación de orden cíclico , es decir verificando las siguientes condiciones:

R(A,B,VS)=>R(VS,A,B){\ Displaystyle R (A, B, C) => R (C, A, B)}

R(A,B,VS)=>noonoR(A,VS,B){\ Displaystyle R (A, B, C) => nonR (A, C, B)}

R(A,B,VS)mitR(A,VS,D)=>R(B,VS,D){\ Displaystyle R (A, B, C) yR (A, C, D) => R (B, C, D)}

Axioma O3 : Cualesquiera que sean los elementos A y B de una forma del primer tipo, hay al menos un elemento C de la forma como R (A, C, B).

Definiciones :

Se dice que los pares de elementos AB y CD de una forma del primer tipo son pares separados si los órdenes ABC y ADB son iguales.

Llamamos sección de un haz de líneas con vértice O por una línea a la correspondencia que asocia con cualquier línea de la viga su intersección con la línea. La correspondencia recíproca entre la línea de puntos y el haz se llama proyección de la línea de puntos desde el punto O.

Llamamos sección de una viga de planos de borde D por una línea recta a la correspondencia que asocia con cualquier plano de la viga su intersección con la línea recta. La correspondencia recíproca entre la línea de puntos y el haz se llama proyección de la línea de puntos desde la línea D.

Dados tres elementos AB y C, llamamos segmento AB fuera de C al conjunto de elementos M de manera que los pares AB y CM están separados.

Axiom O4 : La proyección y la sección mantienen pares separados.

Axioma de continuidad

Definición: Decimos que un elemento M de un segmento AB precede a un elemento N de este segmento, o que N sigue a M, si los pares AN y MB están separados.

Axioma C1 : Si los elementos de un segmento AB se dividen en dos clases como:

- cualquier elemento del segmento AB pertenece a una u otra de las dos clases;

- el elemento A pertenece a la primera clase y B pertenece a la segunda;

- cualquier elemento de la primera clase precede a cualquier elemento de la segunda clase;

entonces existe un elemento C del segmento AB (perteneciente a la primera o segunda clase), de modo que cualquier elemento que precede a C pertenece a la primera clase y cualquier elemento que sigue a C pertenece a la segunda clase.

Modelo algebraico de geometría proyectiva

Un espacio proyectivo se define en álgebra como el conjunto de líneas vectoriales de un espacio vectorial  ; se puede imaginar el ojo de un observador colocado en el origen de un espacio vectorial, y cada elemento del espacio proyectivo corresponde a una dirección de su mirada.

Un espacio proyectivo se diferencia de un espacio vectorial por su homogeneidad  : no se puede distinguir dentro de él ningún punto en particular, como el origen de un espacio vectorial. En esto se acerca a un espacio afín .

Definición de vector

Sea un espacio de K-vector (K es un campo, en general o ), no reducido a . Definimos en la siguiente relación de equivalencia : mi{\ Displaystyle E \, \!}R{\ Displaystyle \ mathbb {R} \, \!}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C} \, \!}{0}{\ Displaystyle \ {0 \}}mi-{0}{\ Displaystyle E - \ {0 \} \, \!}

X∼y⇔∃λ∈K∗,X=λy{\ Displaystyle x \ sim y \ Leftrightarrow \ existe \ lambda \ en K ^ {*}, x = \ lambda y \, \!}.

El llamado espacio proyectivo en el conjunto cociente de la relación de equivalencia  : . mi{\ Displaystyle E \, \!}mi-{0}{\ Displaystyle E - \ {0 \} \, \!}∼{\ Displaystyle \ sim \, \!}PAG(mi)=(mi-{0})/∼{\ Displaystyle P (E) = (E - \ {0 \}) / \ sim \, \!}

Para cada elemento a señalar su clase de equivalencia: . Por tanto, tenemos: si y solo si y son colineales . X≠0{\ Displaystyle x \ neq 0 \, \!}mi{\ Displaystyle E \, \!}π(X)∈PAG(mi){\ Displaystyle \ pi (x) \ en P (E) \, \!}π(X)={λX,λ∈K∗}{\ Displaystyle \ pi (x) = \ {\ lambda x, \ lambda \ in K ^ {*} \} \, \!}π(X)=π(y){\ Displaystyle \ pi (x) = \ pi (y) \, \!}X{\ Displaystyle x \, \!}y{\ Displaystyle y \, \!}

La aplicación se llama proyección canónica . π:mi-{0}→PAG(mi){\ Displaystyle \ pi: E - \ {0 \} \ rightarrow P (E) \, \!}

Más simplemente, el espacio proyectivo es el conjunto de líneas vectoriales de  ; el elemento del espacio proyectivo es la línea vectorial de cuyo vector director es . PAG(mi){\ Displaystyle P (E) \, \!}mi{\ Displaystyle E \, \!}π(X){\ Displaystyle \ pi (x) \, \!}mi{\ Displaystyle E \, \!}X{\ Displaystyle x \, \!}

Si es de dimensión finita entonces decimos que es de dimensión finita y denotamos la dimensión del espacio proyectivo. En particular : mi{\ Displaystyle E \, \!}no{\ Displaystyle n \, \!}PAG(mi){\ Displaystyle P (E) \, \!}no-1=DImetroPAG(mi){\ Displaystyle n-1 = tenue \, P (E) \, \!}

• Si n = 1 entonces es un singleton (dimensión cero);PAG(mi){\ Displaystyle P (E) \, \!}
• Si n = 2, entonces es un plano vectorial y se llama línea proyectiva .mi{\ Displaystyle E \, \!}PAG(mi){\ Displaystyle P (E) \, \!}
• Si n = 3 entonces se llama plano proyectivo  ; este es el marco más común para hacer geometría.PAG(mi){\ Displaystyle P (E) \, \!}

Si el espacio es el espacio vectorial de dimensión “típica”, es decir, entonces tenemos una notación particular para el espacio proyectivo: en lugar de . mi{\ Displaystyle E \, \!}no{\ Displaystyle n \, \!}Kno{\ Displaystyle K ^ {n} \, \!}PAGno-1(K){\ Displaystyle P ^ {n-1} (K) \, \!}PAG(Kno){\ Displaystyle P (K ^ {n}) \, \!}

Definición afín

El aspecto formal de la definición vectorial no debe hacernos olvidar que la noción de espacio proyectivo nació de la proyección central y es, sobre todo, una noción geométrica. Para tomar el ejemplo del espacio proyectivo de , podemos observar el dibujo opuesto donde los puntos , y pertenecen al plano afín (no pasa por el origen). Debemos imaginar un observador colocado . Este observador ve todos los puntos de la línea hacia adentro , los de la línea hacia adentro y los de la línea hacia adentro . Las líneas del plano no se ven como puntos de . Por tanto, existe una biyección entre las líneas vectoriales de no paralelas ay los puntos del plano . R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}metro{\ Displaystyle m}no{\ Displaystyle n}r{\ Displaystyle r}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}O{\ Displaystyle O}(OMETRO){\ Displaystyle (OM)}metro{\ Displaystyle m}(OR){\ Displaystyle (OR)}r{\ Displaystyle r}(ONO){\ Displaystyle (ON)}no{\ Displaystyle n}(D){\ Displaystyle (d)}(PAG){\ Displaystyle (P)}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}(PAG){\ Displaystyle (P)}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}

Por tanto, el espacio proyectivo de está en biyección con un plano afín que no pasa por el origen al que sumamos el conjunto de líneas vectoriales en la dirección de . Por lo tanto, podemos ver un plano proyectivo como constituido por un plano afín al que agregamos la línea proyectiva que tiene como elementos todas las líneas (o direcciones) vectoriales de , llamado en este contexto directo al infinito . A cada punto de la línea en el infinito se le llama punto en el infinito o punto inadecuado (los puntos de ser los puntos adecuados). Esta noción permite, por ejemplo, hablar, en un plano, de intersección entre dos líneas rectas cualesquiera: las líneas se intersecarán en un punto adecuado de o en un punto inadecuado si las líneas son paralelas. En un plano proyectivo, cualquier línea recta puede elegirse como una línea recta en el infinito, y esto induce una estructura plana afín en el complemento. A la inversa, cualquier plano afín puede integrarse como un plano afín no vectorial de un espacio vectorial de dimensión 3 y, por lo tanto, completarse en un plano proyectivo. R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}(PAG){\ Displaystyle (P)}(PAG′){\ Displaystyle (P ')} PAG′~{\ Displaystyle {\ tilde {P '}}}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}(PAG){\ Displaystyle (P)}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}(PAG′){\ Displaystyle (P ')}

Esta noción se generaliza a cualquier espacio proyectivo de dimensión  : es un espacio afín de dimensión al que agregamos todas las direcciones de . PAG~{\ Displaystyle {\ tilde {P}}}no{\ Displaystyle n}(PAG){\ Displaystyle (P)}no{\ Displaystyle n}(PAG){\ Displaystyle (P)}

En particular, si = , la línea proyectiva asociada es el conjunto donde está un punto fuera de , extendiendo las operaciones algebraicas de la siguiente manera: (PAG){\ Displaystyle (P)}K{\ Displaystyle K}K~=K∪{∞}{\ Displaystyle {\ tilde {K}} = K \ cup \ {\ infty \} \, \!}∞{\ Displaystyle \ infty}K{\ Displaystyle K \, \!}

• para todos de ,X{\ Displaystyle x}K{\ Displaystyle K}X/∞=0{\ Displaystyle x / \ infty = 0}
• para todos de ,X{\ Displaystyle x}K∗{\ Displaystyle K ^ {*}}X/0=∞{\ Displaystyle x / 0 = \ infty}

Esta doble relación, por un lado con un espacio vectorial coorientado, por otro lado con un espacio afín completo, enriquece el estudio de la geometría proyectiva. Asimismo, será importante mantener este doble aspecto a la hora de dar coordenadas a los puntos del espacio proyectivo.

La localización

Coordenadas homogéneas

En un espacio proyectivo de dimensión n , por tanto asociado a un espacio vectorial de dimensión n + 1 , cada punto m de está asociado a una familia de vectores de E que son todos colineales. Si E tiene una base canónica, llamamos coordenadas homogéneas del punto m , las coordenadas de cualquier vector x tal que . Por tanto, un punto tiene una familia de coordenadas que son todas proporcionales entre sí. Es decir, si es un sistema de coordenadas homogéneas de m , es el mismo para cada elemento k distinto de cero K . PAG(mi){\ Displaystyle P (E)}π(X)=metro{\ Displaystyle \ pi (x) = m}(X1,X2,...,Xno+1){\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n + 1})}(kX1,kX2,...,kXno+1){\ Displaystyle (kx_ {1}, kx_ {2}, ..., kx_ {n + 1}) \,}

Entre todas estas coordenadas, a menudo ocurre que se favorece a una para encontrar un espacio afín de dimensión n . Entre todos los representantes de m , preferimos, por ejemplo, aquel cuya última coordenada es igual a 1 . Esto equivale a decir que hemos proyectado el espacio en el hiperplano de la ecuación . Si es un sistema de coordenadas de m , preferimos el sistema de coordenadas . Obviamente, esto solo es válido si m es un punto adecuado de . Xno+1=1{\ Displaystyle x_ {n + 1} = 1 \,}(X1,X2,...,Xno+1){\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n + 1})}(X1Xno+1,X2Xno+1,...,XnoXno+1,1){\ Displaystyle ({x_ {1} \ over x_ {n + 1}}, {x_ {2} \ over x_ {n + 1}}, ..., {x_ {n} \ over x_ {n + 1 }}, 1)}PAG(mi){\ Displaystyle P (E)}

Los puntos impropios están representados por sistemas de coordenadas homogéneos cuya última coordenada es cero.

Entonces notamos la correspondencia entre

• los puntos propios de y los puntos de un espacio afín de dimensión n  ;PAG(mi){\ Displaystyle P (E)}
• los puntos impropios y las direcciones de un espacio vectorial de dimensión n  ;PAG(mi){\ Displaystyle P (E)}

La elección arbitraria de poner una coordenada en 1 en las coordenadas homogéneas permite definir diferentes mapas .

Referencia de un espacio proyectivo

Un espacio vectorial de dimensión n se identifica mediante una base de n vectores independientes. Un espacio afín de dimensión n se identifica utilizando n + 1 puntos no relacionados. Un espacio proyectivo de dimensión n se identifica utilizando n + 2 puntos. Podríamos pensar que n + 1 puntos serían suficientes tomando por ejemplo where forma una base del espacio vectorial de dimensión n + 1 asociado al espacio proyectivo. Las coordenadas de un punto en este marco de referencia serían entonces donde están las coordenadas de tal que pero sería necesario que estas coordenadas sean independientes del representante elegido para los vectores de la base:, por ejemplo, tiene otro representante que es . Y en la base no tiene el mismo sistema de coordenadas . (π(mi1),π(mi2),...,π(mino+1)){\ Displaystyle (\ pi (e_ {1}), \ pi (e_ {2}), ..., \ pi (e_ {n + 1})) \,}(miI)I∈{1;no+1}{\ Displaystyle (e_ {i}) _ {i \ in \ {1; n + 1 \}}}metro{\ Displaystyle m \,}(X1,...,Xno+1){\ Displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1}) \,}(X1,...,Xno+1){\ Displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1}) \,}X{\ Displaystyle x \,}π(X)=metro{\ Displaystyle \ pi (x) = m \,}π(mi1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1}) \,}2mi1{\ Displaystyle 2e_ {1} \,}(2mi1,mi2,...,mino+1){\ Displaystyle (2e_ {1}, e_ {2}, ..., e_ {n + 1}) \,} X{\ Displaystyle x \,}(X1/2,X2,...,Xno+1){\ Displaystyle (x_ {1} / 2, x_ {2}, ..., x_ {n + 1}) \,}

Por tanto, es necesario evitar esta ambigüedad y limitar la elección de otros representantes de los vectores base a vectores colineales con los anteriores pero con el mismo coeficiente de colinealidad. Para ello, basta con definir un n + 2º punto correspondiente a . Por lo tanto, si elegimos otros representantes de con diferentes coeficientes de colinealidad, el vector dejará de ser un representante de . π(mi1+mi2+⋯+mino+1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1} + e_ {2} + \ cdots + e_ {n + 1}) \,}π(mi1)...π(mino+1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1}) ... \ pi (e_ {n + 1}) \,}k1mi1+⋯+kno+1mino+1{\ Displaystyle k_ {1} e_ {1} + \ cdots + k_ {n + 1} e_ {n + 1} \,}π(mi1+mi2+⋯+mino+1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1} + e_ {2} + \ cdots + e_ {n + 1}) \,}

Subespacio proyectivo

Como hay subespacios vectoriales de espacio vectorial así como subespacios afines de espacio afín, también hay subespacios proyectivos de espacio proyectivo. Están formados por las proyecciones de los subespacios vectoriales del espacio vectorial asociado. Hablaremos, por tanto, de una línea proyectiva en un plano proyectivo, de un plano proyectivo en un espacio proyectivo. La regla de las dimensiones y la existencia de puntos en el infinito permiten simplificar las reglas de incidencia.

Bir rapport en una línea proyectiva

Si , , y son cuatro puntos distintos de una línea proyectiva D, existe un isomorfismo único de D como a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}vs{\ Displaystyle c}D{\ Displaystyle d}Fa,B,vs{\ Displaystyle f_ {a, b, c}}K~{\ Displaystyle {\ tilde {K}}}

• Fa,B,vs(a)=∞{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (a) = \ infty}
• Fa,B,vs(B)=0{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (b) = 0}
• Fa,B,vs(vs)=1{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (c) = 1}

Llamado razón doble de , , ,a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}vs{\ Displaystyle c}D{\ Displaystyle d} , observado el valor . [a:B:vs:D]{\ Displaystyle [a: b: c: d]}Fa,B,vs(D){\ Displaystyle f_ {a, b, c} (d)}

Si , , y son cuatro puntos separan propia D incluye la definición clásica de razón doble o relación anarmónico: . a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}vs{\ Displaystyle c}D{\ Displaystyle d}vsa¯/vsB¯Da¯/DB¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {ca}} \, / \, {\ overline {cb}}} {{\ overline {da}} \, / \, {\ overline {db}}}}}

Demostración

La homografía se puede escribir con por definición Fa,B,vs{\ Displaystyle f_ {a, b, c}}Fa,B,vs(z)=αz+βγz+δ{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (z) = {\ frac {\ alpha z + \ beta} {\ gamma z + \ delta}}}

• γa+δ=0{\ Displaystyle \ gamma a + \ delta = 0}(poste adentro )a{\ Displaystyle a \;}
• αB+β=0{\ Displaystyle \ alpha b + \ beta = 0}
• αvs+β=γvs+δ{\ Displaystyle \ alpha c + \ beta = \ gamma c + \ delta}

Estate quieto

• δ=-aγ{\ Displaystyle \ delta = -a \ gamma}
• β=-Bα{\ Displaystyle \ beta = -b \ alpha}
• α=vs-avs-Bγ{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {ca} {cb}} \ gamma}

Al tomar obtenemos la expresión :, que da la conclusión deseada. γ=1{\ Displaystyle \ gamma = 1}Fa,B,vs(z)=vs-avs-Bz-Bz-a{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (z) = {\ frac {ca} {cb}} {\ frac {zb} {za}}}

Esta definición de la relación cruzada facilita la demostración del siguiente resultado: las homografías mantienen la relación cruzada . Mas presisamente :

Invarianza proyectiva de la relación cruzada  :  a, b, cyd son cuatro puntos de una línea proyectiva D (a, b, c distintos) ye, f, gyh cuatro puntos en una línea D '(e, f , g distinto) entonces existe una homografía que envía el primer cuatrillizo al segundo si y solo si las relaciones cruzadas [a: b: c: d] y [e: f: g: h] son ​​iguales.

Transformación proyectiva u homografía

Las transformaciones proyectivas u homografías son transformaciones estudiadas en geometría proyectiva. Se obtienen como compuestos por un número finito de proyecciones centrales. Describen lo que sucede con las posiciones observadas de diferentes objetos cuando el ojo del observador cambia de lugar. Las transformaciones proyectivas no siempre conservan distancias o ángulos, pero conservan las propiedades de incidencia y relación cruzada, dos propiedades importantes en la geometría proyectiva. Encontramos transformaciones proyectivas en líneas, en planos y en el espacio.

Propiedad fundamental  : En dimensión finita, una transformación proyectiva está totalmente determinada por la imagen de un marco de referencia en el espacio proyectivo.

Definición analítica de una homografía

Sean dos espacios proyectivos y asociados respectivamente con espacios vectoriales y . Denotamos por y las proyecciones canónicas de (resp. ) Onto (resp. ). PAG1{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}PAG2{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}mi1{\ Displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}π1{\ Displaystyle \ pi _ {1}}π2{\ Displaystyle \ pi _ {2}}mi1{\ Displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}PAG1{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}PAG2{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}

Entonces podemos realizar un "pasaje al cociente" de los mapas inyectables lineales de in . Dado un mapa lineal de este tipo, podemos definir un mapa de al transformar el punto en , que denota un representante de . Por supuesto, para que esta definición sea coherente, debemos comprobar que no depende del representante elegido, lo cual es inmediato dada la linealidad y la definición de . mi1{\ Displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}φ{\ Displaystyle \ varphi}h{\ Displaystyle h}PAG1{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}PAG2{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}METRO{\ Displaystyle M}h(METRO)=π2∘φ(metro){\ Displaystyle h (M) = \ pi _ {2} \ circ \ varphi (m)}metro{\ Displaystyle m}METRO{\ Displaystyle M}φ{\ Displaystyle \ varphi}π2{\ Displaystyle \ pi _ {2}}

La aplicación es la homografía asociada a . Es tan concisa define por la ecuación: .h{\ Displaystyle h}φ{\ Displaystyle \ varphi}π2∘φ=h∘π1{\ Displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ varphi = h \ circ \ pi _ {1}}

También podemos hablar de manera más general de aplicación proyectiva, al no requerir la inyectividad de la aplicación lineal inicial; el mismo proceso de pasar al cociente proporcionará una aplicación definida solo en una parte de  :, y con valores en . Entonces no hablaremos de homografía. φ{\ Displaystyle \ varphi}PAG1{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}PAG1-π1-1(ker⁡(φ)){\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1} - \ pi _ {1} ^ {- 1} (\ ker (\ varphi))}PAG2{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}

Existe una infinidad de mapas lineales asociados a una homografía pero estos mapas lineales forman una línea de vector de desde conlleva . L(mi1,mi2){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E_ {1}, E_ {2})}h1=h2{\ Displaystyle h_ {1} = h_ {2}}π2∘φ1=π2∘φ2{\ Displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ varphi _ {1} = \ pi _ {2} \ circ \ varphi _ {2}}

En dimensions finies p,n, si on dispose d'un système de coordonnées homogènes, une homographie pourra être définie par une classe de matrices non nulles de format (n+1)*(p+1) toutes multiples de l'une d 'ellas. Siendo A una de estas matrices y X una matriz de columnas de coordenadas homogéneas de , AX será una matriz de columnas de coordenadas homogéneas de (todo esto por lo tanto definido hasta un factor). METRO{\ Displaystyle M}h(METRO){\ Displaystyle h (M)}

Ejemplo y discusión (geometría plana). Damos por y espacio . es el plano proyectivo . Considere una homografía definida por la matriz A de 3 * 3 que suponemos es diagonalizable . Por tanto, podemos calcular las coordenadas homogéneas de las transformadas de cualquier punto.mi1{\ Displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}PAG1=PAG2{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1} = {\ mathcal {P}} _ {2}}PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}h{\ Displaystyle h} Las 3 direcciones propias son independientes y definen 3 puntos invariantes porh{\ Displaystyle h} de . Estos 3 puntos tienen respectivamente como matriz-columna de coordenadas homogéneas (vectores propios de la matriz, con un factor cercano a cero).PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}X1,X2,X3{\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}} Por el contrario, ¿el conocimiento de estos 3 puntos invariantes determina la homografía, es decir A , hasta un factor? Para eso sería necesario poder calcular los autovalores de A (siempre con un factor de proporcionalidad). Sin embargo, obviamente no tenemos los medios para esto si solo conocemos las direcciones adecuadas. Por otro lado si se da por ejemplo la transformada del punto de coordenadas homogéneas en el punto de coordenadas homogéneas , se tendrá designando por los autovalores de A: cualquier distinto de cero, lo que permite calcular resolviendo el sistema los valores propios excepto por un coeficiente de proporcionalidad.X1+X2+X3{\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2} + X_ {3}}Y{\ Displaystyle Y}λ1,λ2,λ3{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}}λ1X1+λ2X2+λ3X3=kY,k{\ Displaystyle \ lambda _ {1} X_ {1} + \ lambda _ {2} X_ {2} + \ lambda _ {3} X_ {3} = kY, k} Los 4 puntos (los 3 puntos invariantes más el 4 º definido anteriormente) definen un marco proyectivo de referencia (véase más arriba) y el conocimiento de la transformación de este marco proyectivo de referencia determina completamente la homografía. Ejemplo de homografía Las transformaciones por polares recíprocos .

Topología

Si E es un espacio vectorial sobre o de dimensión finita, se puede definir sobre E una topología resultante de la distancia inducida por la norma en el caso real y en el caso complejo. R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}||X||=X12+X22+....+Xno2{\ Displaystyle || x || = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + .... + x_ {n} ^ {2}}}}||X||=X1X1¯+X2X2¯+....+XnoXno¯{\ Displaystyle || x || = {\ sqrt {x_ {1} {\ overline {x_ {1}}} + x_ {2} {\ overline {x_ {2}}} + .... + x_ { n} {\ overline {x_ {n}}}}}}

Esta topología se utiliza para definir la topología del espacio del cociente , denominada topología del cociente . Si denota la aplicación de pasaje al cociente, diremos que una parte está abierta si su imagen recíproca está abierta en . Comprobamos que definimos un espacio topológico de esta formaPAG(mi)=mi-0/∼{\ displaystyle P (E) = E- {0} / \ sim}pag:mi∖{0}→PAG(mi){\ Displaystyle p: E \ setminus \ {0 \} \ rightarrow P (E)}A⊂PAG(mi){\ Displaystyle A \ subconjunto P (E) \,}pag-1(A){\ Displaystyle p ^ {- 1} (A) \,}mi∖{0}{\ Displaystyle E \ setminus \ {0 \} \,}

Demostramos que es compacto . PAG(mi){\ Displaystyle P (E) \,}

Por lo tanto, proporcionaremos el espacio proyectivo P (E) con esta topología. Permite hablar de homeomorfismo y notar, por ejemplo, que la línea proyectiva real es homeomorfa a un círculo, siendo la línea proyectiva compleja homeomorfa a una esfera (ver el artículo Esfera de Riemann para un homeomorfismo explícito).

Dualidad

Si E es un espacio de vectores K de dimensión finita, su E * dual también es un espacio de vectores K de n dimensiones. Por tanto, podemos asociar el espacio proyectivo P (E) con su dual P (E *). Una línea en P (E *) corresponderá a un paquete de hiperplanos en P (E). La transición a dual permite invertir una gran cantidad de propiedades geométricas.

Utilidad

1. La geometría proyectiva ha hecho posible simplificar enormemente el enunciado y la demostración de teoremas de geometría plana como el teorema de Pappus o el teorema de Desargues , al reducir el caso general a casos particulares donde las líneas son paralelas.
2. Si l'espace projectif, comparé à l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace affine, peut sembler être un objet plus compliqué, il est indéniable que pour de nombreuses situations, l'espace projectif est le bon cadre para trabajar. Para dar un ejemplo, si y son dos curvas planas (complejas) de grado respectivo y luego, si vemos estas curvas como subvariedades del plano afín, el teorema de Bézout dice que el número de puntos de intersección entre y es siempre menor o igual que a . Por otro lado, si vemos estas curvas como subvariedades del plano proyectivo, entonces el teorema dice que el número de puntos de intersección (contados con multiplicidad) es igual a . Hay muchas otras situaciones en las que los teoremas se expresan de una forma más hermosa en geometría proyectiva.VS{\ Displaystyle C}VS′{\ Displaystyle C '}D{\ Displaystyle d}D′{\ displaystyle d '}VS{\ Displaystyle C}VS′{\ Displaystyle C '}DD′{\ displaystyle dd '}DD′{\ displaystyle dd '}
3. La infografía tridimensional hace un uso intensivo de la geometría proyectiva, porque en esta geometría las traslaciones y rotaciones, es decir, las transformaciones del grupo euclidiano , se encuentran como transformaciones lineales , lo que facilita mucho su tratamiento.

Notas y referencias

1. René Taton , "El trabajo de Pascal en geometría proyectiva" , Revue d'histoire des sciences et de their applications , 1962, vol. 15, n ° 3-4, pág. 197-252.
2. (en) John J. O'Connor y Edmund F. Robertson , "Joseph Diaz Gergonne" en el archivo MacTutor History of Mathematics , Universidad de St Andrews ( leer en línea ).
3. (en) John J. O'Connor y Edmund F. Robertson , "Julius Plücker" en el archivo MacTutor History of Mathematics , Universidad de St Andrews ( leer en línea ).
4. Coxeter 1994 .
5. Rossier .
6. Coxeter 1961 .
7. Enriques .
8. Michèle Audin , Geometría , Ciencias EDP ,2006, 3 e  ed. , 428  p. ( ISBN  978-2-7598-0180-0 , leer en línea ) , pág.  196.

Ver también

Bibliografía

• Marcel Berger , Geometry [ detalle de ediciones ]( t. 1 )
• (es) HSMCoxeter, Geometría proyectiva, Springer-Verlag ,1994
• (en) HSMCoxeter, The real projective plane, Cambridge University Press, reimpreso ,1961
• Jean-Denis Eiden, geometría analítica clásica , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• De la geometría proyectiva a la geometría euclidiana , el hexagrama místico de Pascal
• Federigo Enriques, Lecciones de geometría proyectiva, Gauthier-Villard Paris ,1930
• Pequeña enciclopedia de matemáticas , Didier
• Jean Fresnel, métodos modernos en geometría
• Daniel Lehmann y Rudolphe Bkouche , Iniciación a la geometría , PUF , 1988 ( ISBN  2 13 040160 0 )
• Jean-Claude Sidler, Geometría proyectiva , InterEditions, 1993
• Pierre Samuel, geometría proyectiva , PUF, 1986
• Robert Rolland, Geometría proyectiva, Elipses 2015
• Paul Rossier, Geometría sintética moderna, Vuibert Paris ,1960

enlaces externos

• Nicolas Jacon, "  Geometría proyectiva  " , en CNRS
• Daniel Perrin , "  Geometría del plano proyectivo y aplicaciones a geometrías euclidianas y no euclidianas  "

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