Arquímedes

1 2: ver el § Ejemplos del artículo Orden denso .

2 3: si es denso entonces, para todo > 0 en K , existe un racional estrictamente entre 0 y , de ahí la existencia de enteros q > 0 yp tales que

${\ Displaystyle \ forall n \ geq q, \ quad \ varepsilon> {\ frac {p} {q}} \ geq {\ frac {1} {q}} \ geq {\ frac {1} {n}}> 0.}$

3 4 es obvio.

4 1: en K , si (1 / n ) converge entonces

${\ Displaystyle {\ frac {1} {n (n + 1)}} = {\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {n + 1}} \ a 0 ^ {+}}$

Entonces

${\ Displaystyle n (n + 1) \ to + \ infty,}$

para que no aumente.

Observaciones

Este axioma también aparece como axioma IV, 1 del "grupo IV de continuidad" en los axiomas de la geometría euclidiana propuestos por Hilbert en 1899 . Hilbert muestra, por ejemplo, que la prueba de la igualdad de áreas entre dos paralelogramos con la misma base y la misma altura utiliza necesariamente el axioma de Arquímedes.

Hilbert también muestra que, en un campo, si no asumimos la multiplicación conmutativa, entonces necesariamente, esta conmutatividad del producto se sigue del carácter arquimediano del cuerpo. Para mostrar que ab = ba , la idea es tomar un elemento d arbitrariamente pequeño y usar el carácter de Arquímedes del cuerpo para encerrar a entre nd y ( n + 1) dy encerrar b entre md y ( m + 1) d , para dos números enteros m y n . Usamos este encuadre para deducir un encuadre arbitrariamente pequeño de ab - ba y concluir que esta diferencia es cero.

Como cualquier campo de Arquímedes, el campo de reales satisface la "propiedad multiplicativa de Arquímedes": para cualquier real M y cualquier real y > 1, existe un número natural n tal que y ⁿ M (esta propiedad se demuestra en el artículo "  Secuencia geométrica  ").

Ejemplos de

Ejemplo 1

(, +, ×, ) y (, +, ×, ) son cuerpos de Arquímedes. Para es inmediato; para , forma parte de los axiomas o se deduce de ellos, según el axiomático elegido: cf. "  Construcción de números reales  ".

Ejemplo 2

Aquí hay un ejemplo de un anillo que no es de Arquímedes. Considere el anillo [ X ] de polinomios sobre . Diremos que R > 0 si y solo si R es distinto de cero y su coeficiente dominante es positivo, y que P Q si y solo si P = Q o Q - P > 0.

Entonces ( [ X ], +, ×, ) es un anillo totalmente ordenado, pero que no es de Arquímedes.

De hecho, para cualquier número entero n , tenemos X > n . En este anillo ordenado, X es un "infinitamente grande".

La extensión canónica de este orden al campo de fracciones de [ X ] es por lo tanto un orden total no arquimediano en ( X ) , en el que 1 / X es un   infinitamente pequeño  .

Ejemplo 3

Considere el grupo dotado del orden lexicográfico . Entonces este grupo no es de Arquímedes. Para cada entero n estrictamente positivo, tenemos: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$