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Originalmente, el enunciado del axioma de Arquímedes es el siguiente: "Para dos cantidades desiguales, siempre hay un múltiplo entero del menor, mayor que el mayor". "
Se dice que una estructura es de Arquímedes si sus elementos verifican una propiedad comparable.
Un grupo totalmente ordenado ( G , +, ) se dice de Arquímedes (en) si para todos los elementos de una y b de G que satisface 0 < un < b , existe un número natural n tal que n > b .
Formalmente, está escrito:
La hipótesis a > 0 es esencial pero la restricción a b > a es incidental: si a > 0 entonces para todo b a , el número entero n = 2 es adecuado.
Cualquier grupo de Arquímedes completamente ordenado se sumerge en ( , +, ), en particular, es abeliano .
Sea ( A , +, ×, ) un anillo totalmente ordenado.
Decimos que ( A , +, ×, ) satisface el axioma de Arquímedes o es de Arquímedes si el grupo ordenado ( A , +, ) es de Arquímedes.
Sea ( K , +, ×, ) un campo totalmente ordenado (caso particular de un anillo totalmente ordenado). Una división por a > 0 muestra que es Arquímedes si y solo si
en otras palabras, si no aumenta . Tal campo es isomorfo (como un campo ordenado) a un sub-cuerpo del de los reales .
Más precisamente, podemos demostrar que las siguientes propiedades son equivalentes:
Este axioma también aparece como axioma IV, 1 del "grupo IV de continuidad" en los axiomas de la geometría euclidiana propuestos por Hilbert en 1899 . Hilbert muestra, por ejemplo, que la prueba de la igualdad de áreas entre dos paralelogramos con la misma base y la misma altura utiliza necesariamente el axioma de Arquímedes.
Hilbert también muestra que, en un campo, si no asumimos la multiplicación conmutativa, entonces necesariamente, esta conmutatividad del producto se sigue del carácter arquimediano del cuerpo. Para mostrar que ab = ba , la idea es tomar un elemento d arbitrariamente pequeño y usar el carácter de Arquímedes del cuerpo para encerrar a entre nd y ( n + 1) dy encerrar b entre md y ( m + 1) d , para dos números enteros m y n . Usamos este encuadre para deducir un encuadre arbitrariamente pequeño de ab - ba y concluir que esta diferencia es cero.
Como cualquier campo de Arquímedes, el campo de reales satisface la "propiedad multiplicativa de Arquímedes": para cualquier real M y cualquier real y > 1, existe un número natural n tal que y n M (esta propiedad se demuestra en el artículo " Secuencia geométrica ").
(, +, ×, ) y (, +, ×, ) son cuerpos de Arquímedes. Para es inmediato; para , forma parte de los axiomas o se deduce de ellos, según el axiomático elegido: cf. " Construcción de números reales ".
Aquí hay un ejemplo de un anillo que no es de Arquímedes. Considere el anillo [ X ] de polinomios sobre . Diremos que R > 0 si y solo si R es distinto de cero y su coeficiente dominante es positivo, y que P Q si y solo si P = Q o Q - P > 0.
Entonces ( [ X ], +, ×, ) es un anillo totalmente ordenado, pero que no es de Arquímedes.
La extensión canónica de este orden al campo de fracciones de [ X ] es por lo tanto un orden total no arquimediano en ( X ) , en el que 1 / X es un infinitamente pequeño .
Considere el grupo dotado del orden lexicográfico . Entonces este grupo no es de Arquímedes. Para cada entero n estrictamente positivo, tenemos:
David Hilbert , Los fundamentos de la geometría , Dunod, París 1971 o Gabay, 1997
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