Velocidad orbital

La velocidad orbital de un objeto celeste , la mayoría de las veces un planeta , un satélite natural , un satélite artificial o una estrella binaria , es la velocidad a la que orbita alrededor del baricentro de un sistema de dos cuerpos, que por lo tanto más a menudo es alrededor de un más cuerpo masivo. La expresión se puede utilizar para denotar la velocidad orbital media del cuerpo a lo largo de su órbita o la velocidad orbital instantánea, en un punto específico. En principio se expresa en m / s , pero a menudo en km / h .

Velocidad orbital instantánea

La velocidad orbital instantánea puede ser determinada por la segunda ley de Kepler , es decir, en un período fijo, el segmento derecho que conecta el centroide al cuerpo describe una superficie de constante, independientemente de la porción de la órbita que el cuerpo recorre durante este tiempo. Como resultado, el cuerpo se acerca más rápido a su periastrón que a su apoástrico .

Caso general

La velocidad orbital está relacionada con la ecuación de la fuerza viva .

La velocidad orbital se obtiene mediante:

v_ {o} = {\ sqrt {2 \ left ({\ mu \ over {r}} + {\ varepsilon} \ right)}}

o :

$\ mu$ es el parámetro gravitacional estándar ;
$r$ es la distancia entre el cuerpo en órbita y el centro de la órbita;
$\ varepsilon$ es la energía orbital específica .

Caso de la órbita elíptica

Cuando la energía orbital específica es negativa, la órbita del cuerpo secundario es elíptica y su velocidad orbital se obtiene mediante:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)}}

o :

$\ mu$ es el parámetro gravitacional estándar ;
$r$ es la distancia entre el cuerpo secundario y el cuerpo principal;
$a$ es el semieje mayor de la órbita del cuerpo secundario.

Cuando el cuerpo secundario está en la periapsis, el valor de , anotado , se obtiene mediante , donde y son el semieje mayor y la excentricidad de la órbita del cuerpo secundario. La velocidad orbital del cuerpo secundario en el periastrón, indicada , se obtiene mediante: $r$ $r _ {{\ mathrm {per}}}$ $r _ {{\ mathrm {per}}} = a (1-e)$ $a$ $mi$ $v _ {{\ mathrm {per}}}$

v _ {{\ mathrm {per}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu (1 + e)} {a (1-e)}}}}

Cuando el cuerpo secundario está en la apoástrica, el valor de , anotado , se obtiene mediante , donde y son el semieje mayor y la excentricidad de la órbita del cuerpo secundario. La velocidad orbital del cuerpo secundario en el apoastro, indicada , se obtiene mediante: $r$ $r _ {{\ mathrm {ap}}}$ $r _ {{\ mathrm {ap}}} = a (1 + e)$ $a$ $mi$ $v _ {{\ mathrm {ap}}}$

v _ {{\ mathrm {ap}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu (1-e)} {a (1 + e)}}}}

Caso de órbita circular

Una órbita circular es, por definición, una órbita con excentricidad cero.

La velocidad orbital del cuerpo secundario en órbita circular se obtiene mediante:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ over {r}}}

o :

$\ mu$ es el parámetro gravitacional estándar;
$r$ es la distancia entre el cuerpo secundario y el cuerpo principal.

Caso de la trayectoria parabólica

Cuando la energía orbital específica es cero, la trayectoria del cuerpo secundario es parabólica y su velocidad orbital se obtiene mediante:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} \ right)}}

o :

$\ mu$ es el parámetro gravitacional estándar ;
$r$ es la distancia entre el cuerpo secundario y el cuerpo principal.

Caso de la trayectoria hiperbólica

Cuando la energía orbital específica es positiva, la trayectoria del cuerpo secundario es hiperbólica y su velocidad orbital se obtiene mediante:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} + {1 \ over {a}} \ right)}}

o :

$\ mu$ es el parámetro gravitacional estándar;
$r$ es la distancia entre el cuerpo secundario y el cuerpo principal;
$a$ es el semieje mayor de la órbita del cuerpo secundario.

Vector de velocidad instantánea

En el caso de una órbita elíptica, nos interesa el vector velocidad tal como se expresa en el marco de referencia (no galileano) fijado en el cuerpo central, eligiendo el eje Ox que apunta en la dirección del periastrón (Ox es por tanto paralela al eje mayor y dirigida hacia el punto más cercano a la órbita).

La posición y la velocidad del vector son condiciones iniciales necesarias para la integración de la relación fundamental de dinámica .

Conociendo en un momento dado la posición del cuerpo en su órbita, se trata de determinar el vector de velocidad correspondiente . ${\ Displaystyle {\ vec {r}} = (r_ {x}, r_ {y})}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {x}, v_ {y})}$

En la periapsis o apoastro, la solución es simple porque el vector de velocidad es ortogonal al vector de posición en estos puntos.

Las siguientes relaciones son más generales:

{\ Displaystyle v_ {x} = - {\ frac {a} {r}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} \ r_ {y} \ {\ dot {M }}}

{\ Displaystyle v_ {y} = {\ frac {a} {r}} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ (r_ {x} + a \ e) \ {\ dot {M}} }

donde es la derivada de la anomalía media con respecto al tiempo, es decir el movimiento medio : $\ dot M$

{\ Displaystyle {\ dot {M}} = {\ sqrt {\ frac {G (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

Nota :

Cuando la masa orbital no es despreciable en comparación con la masa central , los vectores de posición y velocidad deben representarse en el marco de referencia inercial fijado al baricentro. Sin embargo, las relaciones anteriores siguen siendo válidas: metro2{\ Displaystyle m_ {2}} $m_ {2}$ metro1{\ Displaystyle m_ {1}} $m_1$ r→{\ Displaystyle {\ vec {r}}} $\ vec r$ v→{\ Displaystyle {\ vec {vb}}} ${\ vec v}$
- Estos vectores vistos desde el baricentro (así como ) son proporcionales a los vectores vistos desde la masa central con una razón multiplicativa , y las ecuaciones son homogéneas. $a$ ${\ Displaystyle m_ {1} / (m_ {1} + m_ {2})}$
- Por otro lado, dado que la anomalía promedio no cambia, la parte interviniente en su definición sigue siendo el eje semi-mayor de la elipse cuyo foco es el cuerpo central. $METRO$ $a$

Prueba

De acuerdo con la definición de la anomalía verdadera señalada , podemos expresar el vector de posición por $\desnudo$

{\ Displaystyle r_ {x} = r \ cos (\ nu)}

{\ Displaystyle r_ {y} = r \ sin (\ nu)}

Por otro lado, la verdadera anomalía está relacionada con la anomalía excéntrica notada por las relaciones $mi$

{\ Displaystyle \ cos (\ nu) = {\ frac {a} {r}} (\ cos (E) -e)}

{\ Displaystyle \ sin (\ nu) = {\ frac {a} {r}} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (E)}

donde y el radio están relacionados por $mi$ $r$

{\ Displaystyle r = a \ (1-e \ cos (E))}

Entonces podemos expresar la posición usando la anomalía excéntrica

{\ Displaystyle r_ {x} = a \ (\ cos (E) -e)}

{\ Displaystyle r_ {y} = a \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ \ sin (E)}

luego derivar estas relaciones con respecto al tiempo para obtener la velocidad

{\ Displaystyle v_ {x} = - a \ \ sin (E) \ {\ dot {E}}}

{\ Displaystyle v_ {y} = a \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ cos (E) \ {\ dot {E}}}

Ahora se trata de abstraerse de quién está relacionado con la anomalía media señalada , de acuerdo con la ecuación de Kepler : $mi$ $METRO$

{\ Displaystyle Ee \ cdot \ sin (E) = M}

y cuya derivada temporal está escrita

{\ Displaystyle (1-e \ cdot \ cos (E)) \ {\ dot {E}} = {\ dot {M}}}

{\ Displaystyle {\ dot {E}} = {\ frac {a} {r}} \ {\ dot {M}}}

Para concluir, basta con sustituir y extraídas respectivamente de las relaciones sobre e introducirlas en las relaciones sobre y . ${\ Displaystyle \ sin (E)}$ ${\ Displaystyle \ cos (E)}$ ${\ Displaystyle r_ {x}}$ ${\ Displaystyle r_ {y}}$ $v_ {x}$ $v_ {y}$

Un pequeño cálculo también permite encontrar la expresión del módulo de la velocidad indicada anteriormente:

{\ Displaystyle v_ {o} = \ | {\ vec {v}} \ | = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)} }}

Velocidad orbital media

Caso de una órbita circular

La velocidad orbital media se determina conociendo su período orbital y el semieje mayor de su órbita, o bien a partir de las masas de los dos cuerpos y el semieje mayor (que es aquí el radio del círculo):

v_ {o} = {2 \ pi a \ over T}

v_ {o} = {\ sqrt {MG \ over r}}

donde v o es la velocidad orbital media, a es la longitud del semieje mayor, r es el radio del círculo de la órbita (= a ), T es el período orbital, M es la masa del cuerpo alrededor del cual una órbita cuya velocidad queremos calcular y G es la constante gravitacional . En la segunda relación, reconocemos la relación entre la circunferencia del círculo de la órbita y el tiempo de viaje. Esta es solo una aproximación que se verifica cuando la masa del cuerpo en órbita es considerablemente menor que la del cuerpo central.

Cuando la masa del cuerpo en órbita no es despreciable respecto a la del otro cuerpo, se trata de tener en cuenta que los dos cuerpos se mueven uno y otro en sus respectivas órbitas circulares. En este caso, la velocidad media deseada es la medida a partir del marco de referencia de Galileo fijado en el baricentro. Está dado por la relación:

{\ Displaystyle v_ {o} = {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} \ G \ over (m_ {1} + m_ {2}) \ r}}}

donde m 1 es la masa del cuerpo central, m 2 la del cuerpo considerado y r el radio entre los dos cuerpos. Este es nuevamente el caso especial en el que las órbitas de los dos cuerpos son circulares .

Prueba

Sea la distancia entre los dos cuerpos y la distancia entre el cuerpo considerado y el baricentro. Esto implica evaluar la velocidad media definida por $r$ $R$

{\ Displaystyle v_ {o} = {2 \ pi R \ over T}}

En el problema de los dos cuerpos , se muestra que

{\ Displaystyle R = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ r}

Usando la tercera ley de Kepler , Isaac Newton mostró la relación

{\ Displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} a ^ {3}} {G (m_ {1} + m_ {2})}}}

en el que aquí es igual a . $a$ $r$

Obtenemos el resultado sustituyendo tomado de esta última relación. $T$

Caso de una órbita elíptica

En este caso, basta con determinar el perímetro (o la circunferencia) de la elipse , pero no puede expresarse mediante funciones simples; es aconsejable aprovechar la función integral elíptica del segundo tipo. Sin embargo, hay aproximaciones; el primero (debido a Kepler) indica un valor predeterminado y el segundo (debido a Euler) da un valor en exceso: $L$

{\ Displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {ab}} \ leq L \ leq \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}}

una y b siendo respectivamente las dos semi-ejes de la elipse que están vinculados a la excentricidad e por la relación . Podemos deducir $b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {m_ {1} ^ {2} \ G \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {(m_ {1} + m_ {2}) \ a}} \ leq v_ {o} ^ {2} \ leq {\ frac {m_ {1} ^ {2} \ G (1-e ^ {2} / 2)} {(m_ {1} + m_ {2}) \ a }}}

Notas:

Estas expresiones se refieren a la velocidad medida desde el marco de referencia fijado en el baricentro.
La diferencia relativa entre los límites respectivos permanece menor que siempre que e sea menor que 0,1. $10 ^ {- 5}$
Se obtendrá una estimación más precisa tomando el promedio de las raíces de los dos límites.

Ejemplo de paradoja

Una bola lanzada manualmente hacia la Tierra desde la Estación Espacial Internacional (ISS) tendrá casi la misma velocidad que la estación espacial, es decir, más de siete kilómetros por segundo y casi paralela a la superficie terrestre, y por tanto seguirá una órbita muy cercana. al de la estación, apenas más elíptica. Por tanto, la bola se acercará primero a la Tierra, luego se alejará de ella y, después de media órbita, cruzará la de la ISS. Al final de una órbita completa, la bola, en teoría, se unirá a la estación espacial. Por tanto, la bola no caerá sobre la Tierra.

Notas y referencias

(in) " Por qué se lanza una bola a la Tierra desde la órbita" Boomerang ". ¿Pueden los astronautas golpear la Tierra con una bola, una flecha o una bala? | Science 2.0 ” , en www.science20.com ,2 de diciembre de 2015(consultado el 5 de agosto de 2020 ) .