Universo (lógica)
En matemáticas , y en particular en teoría de conjuntos y en lógica matemática , un universo es un conjunto (oa veces una clase propiamente dicha ) que tiene como elementos todos los objetos que uno desea considerar en un contexto dado.
Teoría elemental de conjuntos y probabilidades
En muchos usos elementales de la teoría de conjuntos, en realidad nos ubicamos en un conjunto general U (a veces llamado universo de referencia ), y los únicos conjuntos considerados son los elementos y subconjuntos de U ; es este punto de vista el que llevó a Cantor a desarrollar su teoría a partir de U = R , el conjunto de números reales. Esto permite simplificaciones (por ejemplo, la noción de complemento de un conjunto puede hacerse “absoluta”, definiendo por defecto el complemento de A como el conjunto de x de U no pertenecientes a A ; igualmente, todo desde la unión de un vacío familia de conjuntos es el conjunto vacío, podemos definir la intersección de una familia vacía como U todo), y se presta bien a todas las actividades habituales de los matemáticos: el estudio de la topología de R , por ejemplo, no se puede hacer en U = R , pero es suficiente para lograr un cambio de universo, teniendo U en este caso todas las partes del R . Este punto de vista fue sistematizado por N. Bourbaki en su descripción de las estructuras matemáticas .
También es este punto de vista el que se adopta en la mayoría de los modelos básicos de la teoría de la probabilidad : estamos interesados en un conjunto (llamado universo ) en el que se define una medida , y en todos sus subconjuntos (medibles), llamados eventos.
Teoría de conjuntos axiomáticos y teoría de modelos
Desde un punto de vista axiomático, es posible hablar de un "universo" en dos sentidos distintos:
- por un lado, podemos considerar la clase (propia) de todos los conjuntos, o una restricción de este último a conjuntos considerados interesantes. Así, por ejemplo, se construye el universo de von Neumann V de los conjuntos de la jerarquía acumulativa , o el universo L de los conjuntos construibles , definido por Gödel .
- Por otro lado, podemos limitar esta construcción a un conjunto "suficientemente grande". Por ejemplo, si α es un ordinal suficientemente grande, el conjunto obtenido en la construcción de von Neumann contendrá en la práctica todos los objetos que el matemático "ordinario" pueda necesitar. En este sentido, a menudo hablamos en teoría de modelos de un universo U para designar un conjunto que es un modelo de la teoría considerada (la mayoría de las veces ZFC ), es decir, como sus elementos (y la relación de pertenencia entre ellos) Verifique todos los axiomas de la teoría. Sin embargo, desde Gödel, sabemos que la existencia de tal modelo no se puede demostrar en ZFC. Por lo tanto, la construcción anterior requiere, por ejemplo, tomar para α un ordinal tan grande que su existencia no se pueda probar en ZFC. Se dice que tal ordinal es inaccesible .
Teoría de categorías
Sin querer entrar necesariamente en todos los detalles técnicos anteriores, algunas disciplinas, como la teoría de categorías , necesitan poder considerar en su conjunto la clase de todos los objetos que estudian. Grothendieck propuso agregar a ZFC un nuevo axioma, el axioma de universos , que postula que todo conjunto pertenece a un universo de Grothendieck , es decir a un conjunto estable para las operaciones habituales definidas por los axiomas de ZFC, la unión y todos los partes. Este axioma (que está estrechamente vinculado a la noción de cardinal inaccesible ) permite entonces en la práctica construir pequeñas categorías (categorías cuyos elementos, objetos y flechas, conjuntos de formas) que contienen todos los objetos que se pueden necesitar: si U es un universo de Grothendieck, la categoría de grupos de elementos de U es una categoría pequeña, que tiene esencialmente las mismas propiedades que la categoría de todos los grupos, que es su propia clase.
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Universe (math) ” ( ver la lista de autores ) .- N. Bourbaki, Elementos de las matemáticas , Libro I, cap. 4, Springer Structures (2006); su definición nos lleva a tomar como universo la unión de conjuntos obtenida por producto cartesiano y por conjunto de partes de conjuntos ya construidos. Consulte Inducción estructural para obtener más detalles.
- Delahaye , Pour la Science , n o 397, noviembre de 2010 [ leer en línea ] .
- Esto es una consecuencia de la segunda teorema de incompletitud , pero un simple (aunque metamathematic) muestra argumento de que, suponiendo que la consistencia de la teoría, hay tales modelos, y que no son ni siquiera todos los cardinalidades, incluyendo countables: este es el Löwenheim- Teorema de Skolem .
- Este es también el caso de la clase de números surrealistas , aunque en la práctica los usuarios de números surrealistas rara vez hacen uso de esta posibilidad, porque generalmente solo trabajan dentro de restricciones sobre números surrealistas “creados” antes de un ordinal fijo lo suficientemente grande; véase John H. Conway , Sobre números y juegos , pág. 49 .