Triángulo de Kobon

El problema de los triángulos de Kobon es un problema sin resolver en geometría combinatoria que fue planteado por primera vez por el matemático Kobon Fujimura . El problema plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es el número máximo de triángulos distintos que se pueden construir utilizando un número dado de segmentos de recta ?

El problema fue popularizado por Martin Gardner en 1983.

Majorant

Saburo Tamura demostró que para los segmentos de línea , el número máximo de triángulos que es posible construir, anotado , es menor o igual a ( designa la función de número entero ). $no$ ${\ Displaystyle N (n)}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n \ left (n-2 \ right)} {3}} \ right \ rfloor}$ ${\ Displaystyle \ lfloor ~ \ rfloor}$

En 2007, Johannes Bader y Gilles Clément refinaron este límite: si es congruente con 0 o 2 módulo 6, entonces es estrictamente menor que . $no$ ${\ Displaystyle N (n)}$ ${\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n \ left (n-2 \ right)} {3}} \ right \ rfloor}$

Soluciones conocidas

Las soluciones máximas, iguales al límite superior, se conocen para 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 y 17 líneas. En los otros casos, no se conoce el número máximo de triángulos, incluso si conocemos configuraciones que se acercan a este límite superior. Para 10 y 11 líneas, la solución más conocida es solo un triángulo menos que el límite dado por Tamura. Para 12, 16 y 18 líneas rectas, dos triángulos menos.

La siguiente tabla resume, para los primeros valores del número de segmentos, el valor del límite superior así como el de la solución más conocida (indicado en negrita cuando es una solución igual al límite superior, por lo tanto realmente máximo ).

Número de líneas	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis	17	18	19	20	21
Majorant	-	-	1	2	5	7	11	15	21	26	33	40	47	55	sesenta y cinco	74	85	95	107	119	133
Solución más conocida	0	0	1	2	5	7	11	15	21	25	32	38	47	53	sesenta y cinco	72	85	93	104	115	130

Esta es la suite A006066 de la OEIS .

Referencias

(en) Kobon Fujimura, Los rompecabezas de Tokio , Scribner ,1978( ISBN 0-684-15536-2 ).
(en) Martin Gardner , Wheels, Life y otras diversiones matemáticas , Freeman ,1983, 261 p. ( ISBN 978-0-7167-1589-4 ) , pág. 170-171 y 178.
(en) David Eppstein , " The Geometry Junkyard - Triangles and simplices: Kabon [sic] Triangles " en la Facultad de Ciencias de la Información y Computación Donald Bren .
(en) Johannes Bader, " Kobon Triangles - Proof for Tighter Lower Bound " en ETHZ ,21 de diciembre de 2007.
(en) Branko Grünbaum , Convex Polytopes Springer al. " GTM ",1967( ISBN 978-0-38740409-7 ).
(ja) S. Honma, “ 三角形の最大数 ” [“número máximo de triángulos”] .
(ru) Vyacheslav Kabanovich, " Тре угольника Кобона " [ "Kobon triángulos"], Шарада , vol. 6,Junio de 1999, p. 1-2 ( leer en línea )(farsa, publicación del club de rompecabezas ruso Диоген ).
(en) Eric W. Weisstein , " Kobon Triangle " en MathWorld , solución mencionada por Toshitaka Suzuki en 2005.
(en) Johannes Bader, " Triángulos de Kobon - Solución perfecta con 17 líneas " en ETHZ ,noviembre 2007.

Ver también

(en) Ed Pegg Jr. (en) , " Kobon Triangles " en mathpuzzle.com ,8 de febrero de 2006