Transformada de Fourier-Mukai

La transformada de Fourier-Mukai es un análogo en geometría algebraica de la transformada de Fourier habitual utilizada en análisis. Fue presentada por Shigeru Mukai .

Definición

Sea una variedad abeliana y su variedad abeliana dual. Denotamos el haz de Poincaré en , normalizado para ser trivial en las fibras y . Sean y sean las proyecciones canónicas. $X$ ${\ Displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ Displaystyle X \ times {\ hat {X}}}$ ${\ Displaystyle X \ times 0}$ ${\ Displaystyle 0 \ times {\ hat {X}}}$ $pag$ ${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$

El functor de Fourier-Mukai se define por:

{\ Displaystyle R {\ mathcal {S}}: {\ mathcal {F}} \ in D (X) \ mapsto R {\ hat {p}} _ {\ ast} (p ^ {\ ast} {\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {P}}) \ in D ({\ hat {X}})}

Tenemos un functor similar en la dirección opuesta . ${\ Displaystyle R {\ widehat {\ mathcal {S}}}: D ({\ hat {X}}) \ a D (X)}$

Propiedades

Sea la dimensión de . $gramo$ $X$

Tenemos una propiedad de la involutividad:

{\ Displaystyle R {\ mathcal {S}} \ circ R {\ widehat {\ mathcal {S}}} = (- 1) ^ {\ ast} [- g]}

La transformada de Fourier-Mukai intercambia (al grado más cercano) el producto Pontryagin y el producto tensorial :

{\ Displaystyle R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}} \ ast {\ mathcal {G}}) = R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}}) \ a veces R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {G}})}

{\ Displaystyle R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {G}}) = R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}}) \ ast R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {G}}) [g]}

Referencias

Shigeru Mukai , Duality between and with its application to Picard gavillas ${\ Displaystyle D (X)}$ ${\ Displaystyle D ({\ hat {X}})}$ , Nagoya Mathematical Journal 81 , 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)