Teoremas de Picard

En análisis complejo , los teoremas de Picard , del matemático Émile Picard , son dos en número:

El pequeño teorema de Picard decía que la función completa no constante toma cada número complejo como valor, excepto quizás algún número complejo.

El gran teorema de Picard decía que una función holomórfica que tiene una singularidad esencial toma cada vecindario de esta singularidad, cualquier número complejo innumerables veces como valor, excepto quizás algún número complejo.

Observaciones

El "excepto quizás uno" en estas declaraciones es necesario, como muestran los siguientes ejemplos. La función completa (el exponencial complejo ) no desaparece. Incluso tiene una singularidad esencial en el infinito (es una función trascendente ). La función es un ejemplo de una función de no cancelación con singularidad esencial acotada (en el punto ). ${\ Displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}$ ${\ Displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {1 / z}}$ ${\ displaystyle 0}$
El caso de las funciones polinomiales es una consecuencia directa del teorema de d'Alembert-Gauss .
El teorema pequeño se puede deducir inmediatamente del grande, porque cualquier función completa es un polinomio o tiene una singularidad esencial en el infinito.
El gran teorema de Picard generaliza el teorema de Weierstrass-Casorati .

Una conjetura reciente de B. Elsner está relacionada con el gran teorema de Picard: dejar abiertos conectados que se encuentran con el disco unitario romo . En cada abierto , deje una función holomórfica inyectiva como en todas las intersecciones . Luego, estos diferenciales se unen en una forma meromórfica de 1 en el disco . (Si el residuo es cero, la conjetura se sigue del gran teorema de Picard). ${\ Displaystyle U_ {1}, U_ {2}, \ dots, U_ {n}}$ ${\ Displaystyle D \ setminus \ {0 \}}$ $U_ {j}$ $f_ {j}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} f_ {j} = \ mathrm {d} f_ {k}}$ $U_ {j} \ cap U_ {k}$ $D$

Nota

(en) Serge Lang , Análisis complejo , vol. 103, Springer Verlag , col. " Textos de Posgrado en Matemáticas ",1985, 2 nd ed. , 367 p. ( ISBN 978-1-4757-1871-3 , leer en línea ) , pág. 343
P. 330 de (en) Bernhard Elsner, “ Acción hiperelíptica integral ” , Annales de Institut Fourier , vol. 49, n o 1,1999, p. 303-331 ( leer en línea ).

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Teorema de Landau , generalizando el teorema "pequeño" de Picard