Teorema de Synge

En matemáticas , el teorema de Synge , demostrado por John Lighton Synge en 1936, es un resultado clásico de la geometría riemanniana en la topología de una variedad riemanniana completa con curvatura positiva . Constituye una aplicación de la fórmula de la segunda variación .

Teorema - Sea M una variedad Riemanniana completa de dimensión uniforme y curvatura seccional estrictamente positiva.

Si M es orientable , simplemente está conectado .
Si M no es orientable, entonces su grupo fundamental lo es . ${\ displaystyle Z / 2Z}$

Demostración

Supongamos M orientable y de dimensión y razón par por el absurdo . Suponga que M no está simplemente conectado. Entonces M tiene una geodésica cerrada que minimiza la longitud en su clase de homotopía libre. Son y el transporte paralelo a lo largo . Esta aplicación es una isometría lineal que tiene un punto fijo, a saber . Dado que la dimensión de M es par, la ortogonal de es un espacio vectorial euclidiano orientado de dimensión impar en el que se define una isometría lineal. En particular, las reducciones muestran las preguntas la existencia de un vector ortogonal (unidad seleccionada) como: . ${\ Displaystyle p: = \ gamma (0)}$ ${\ Displaystyle \ theta: T_ {p} M \ rightarrow T_ {p} M}$ $\gama$ $\ theta$ ${\ Displaystyle \ gamma '(0) = \ gamma' (L)}$ ${\ Displaystyle \ gamma '(0)}$ $\ theta$ $v$ ${\ Displaystyle \ theta v = v}$

El transporte paralelo de a lo largo da una sección general de . Introduzcamos una variación de cordones -periódicos, con y . La fórmula para la segunda variación da: $v$ $\gama$ $V$ ${\ Displaystyle \ gamma ^ {*} TM \ rightarrow S ^ {1}}$ $c_ {s}$ $L$ ${\ Displaystyle c_ {0} = \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {s} c_ {s} | _ {s = 0} = V}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} longc_ {s}} {\ partial s ^ {2}}} = - \ int _ {0} ^ {L} K (\ gamma '(t), V (t)) dt <0}

Por tanto, una contradicción con la elección de , por tanto, M está simplemente conectado. $\gama$

Para la segunda afirmación, basta considerar un recubrimiento doble ajustable M .

Podemos demostrar mediante las mismas técnicas que cualquier variedad Riemanniana completa de dimensión impar y curvatura seccional estrictamente positiva es orientable.

Referencias

(en) Manfredo Perdigão do Carmo , geometría riemanniana , Birkhäuser,1992, 300 p. ( ISBN 978-0-8176-3490-2 )
(en) John Lighton Synge , " Sobre la conectividad de espacios de curvatura positiva " , Quarterly Journal of Mathematics (Serie Oxford) , vol. 7,1936, p. 316–320.
Alexandre Preissmann, Algunas propiedades globales de los espacios de Riemann , tesis, 1942.

Teorema de Synge

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