Teoría cuántica de campos axiomáticos
Introducción
En la década de 1950 , con el éxito de la renormalización perturbativa en la electrodinámica cuántica , surgió la necesidad de una formulación matemáticamente rigurosa de la teoría cuántica de campos basada en algunos principios generales, que incluyen:
- conceptos de mecánica cuántica ,
- la invariancia bajo el grupo de Poincaré ,
- la localidad de los campos.
El objetivo era aclarar el estado de las ecuaciones en la teoría cuántica de campos y tratar de demostrar que existen soluciones para estas ecuaciones. Aparecieron dos formulaciones:
- Formulación clásica : siguiendo la ruta original definida en los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica de John von Neumann (1932) y continuada por Wightman y Streater, se basa en un espacio de Hilbert . Entonces, un observable se representa mediante un operador autoadjunto que actúa en este espacio de Hilbert. Este enfoque hace un uso extensivo de la teoría de distribuciones inventada por Laurent Schwartz en 1949, porque el estado matemático de un campo cuántico es el de una distribución con valor de operador : si designa un punto en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, un campo cuántico local , y una función suave con soporte compacto, entonces:
es un operador.
- Formulación algebraica : introducida por Segal (1947) y desarrollada por Haag, Ruelle y Kastler, este enfoque se basa en un álgebra C * , un ser observable aquí representado por un elemento de esta álgebra C * .
Estas dos formulaciones son totalmente equivalentes en mecánica cuántica, donde solo hay un número finito de grados de libertad, en virtud de un teorema de Von Neumann que asegura la unicidad de las representaciones irreductibles de las relaciones de conmutación canónicas. Por otro lado, en la teoría cuántica de campos donde hay un número infinito de grados de libertad, hay una infinidad incontable de representaciones irreductibles que son desiguales, lo que significa que el enfoque algebraico es a priori mucho menos restrictivo que la formulación clásica.
Apéndices
Bibliografía
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